数学-学科网2020年3月高三第一次在线大联考（江苏卷）（含考试版、全解全析）

学科网2020年3月高三第一次在线大联考（江苏卷） 数学 全解全析 1． 【解析】由于，，则． 2． 【解析】由于，则． 3． 【解析】由这五位同学答对的题数分别是，得该组数据的平均数，则方差． 4． 【解析】要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是． 5．或 【解析】依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或． 6． 【解析】方法一：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，解得或，从而得或，则． 方法二：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，设，则，故. 方法三：将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离，则. 7． 【解析】记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是． 8． 【解析】由，，且，得，解得，则，则． 9． 【解析】由于，且，则，得，则． 10． 【解析】依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故. 11． 【解析】作出长方体如图所示，由于，则就是异面直线与所成的角，且，在等腰直角三角形中，由，得，又，则，从而长方体的表面积为． 12． 【解析】依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即． 13． 【解析】由题意，，则，得．由题意可设的方程为，，联立方程组，消去得，恒成立，，，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号．故面积的取值范围是. 14． 【解析】易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为． 15．（本小题满分14分） 【解析】（1）如图，取的中点，连接.（1分） 由于为的中点，则在长方体中，易得，且， 则四边形为平行四边形，所以.（3分） 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 从而得，（5分） 又平面，且平面， 故直线平面．（7分） （2）在长方体中，因为平面，且平面，则， 由，知侧面矩形是正方形，（9分） 设与相交于，由于和分别是棱和的中点，易证，得 又，则，所以，即，（12分） 又和是平面内的两相交直线，所以平面， 又平面，故平面平面．（14分） 16．（本小题满分14分） 【解析】（1）由正弦定理及，得，又，于是得，即，（4分） 又，可得，（5分） 则由余弦定理得．（7分） （2）由（1）知，，则，得.（8分） 由条件及正弦定理得，解得， 则，，（11分） 则， 故．（14分） 17．（本小题满分14分） 【解析】（1）设等比数列的公比为，依题意，则． 由，且，得， 即，解得（舍去），或，（4分） 由，得， 故数列的通项公式．（7分） （2）由于，则对成立， 由等差数列的定义，知数列是等差数列， 则，（10分） 由，得，解得（舍去）或（），即， 故使得成立的正整数的最小值为．（14分） 18．（本小题满分16分） 【解析】（1）由于，且，则，即， 又平面平面，且平面平面，所以平面，（2分） 易得，又为边的中点， 则米，米， 于是得米，米，米，（4分） 取的中点为，则，且米， 则（平方米），（平方米），（平方米）， 故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米．（8分） （2）依题意，设米，则米，且． 由，知与相似，则，得米．（10分） 由（1）知，底面， 则四棱锥的体积（）， 则，（13分） 易知在上单调递增，在上单调递减，则立方米． 故这个封闭容器的最大体积是立方米．（16分） 19．（本小题满分16分） 【解析】（1）由椭圆离心率，得，即.（2分） 又直线过左焦点，则当直线轴时直线的方程为， 代入中，化简得，解得， 于是得，即，（5分） 又且，解得，则. 故椭圆的标准方程为.（7分） （2）由（1）知，则，， 又由，知此时直线不垂直于轴.（10分） 设直线的方程为，，. 将代入，整理得， 由根与系数关系得，，（13分） 根据弦长公式得， 由，化简得，解得. 故所求直线的方程为，即或.（16分） 20．（本小题满分16分） 【解析】（1）依题意，由，得，即得，或， 由此可知是的一个零点．（2分） 当时，由，得， 令（），则， 由，解得，由，解得且， 所以知在和上均是递减的，在上是递增的． 又当时，； 当时，，且若或，则，即， 由此作出的大致图象如图所示，（6分） 则直线与图象交点的情况为：当时，有个交点；当或时，有个交点；当时，有个交点．（8分） 综上所述，当时，函数有个零点；当