专题18 创新型与新定义综合问题-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品 专题18创新型与新定义综合问题 【考点1】几何综合探究类阅读理解问题 【例1】（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长． 【变式1-1】（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 【变式1-2】（2019·湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： （1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究： （2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由． 运用： （3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长． 【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题 【例2】（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+…+22017+22018①， 则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29=__________； （2）3+32+…+310=__________； （3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程． 【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知 =10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 =100a+10b+c． 【基础训练】 （1）解方程填空： ①若 + =45，则x=__________； ②若 – =26，则y=__________； ③若 + = ，则t=__________； 【能力提升】 （2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 + 一定能被__________整除， – 一定能被__________整除， • –mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】 （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________； ②设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数． 【变式2-2】（2019•济宁）阅读下面的材料： 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数． 证明：设0<x1<x2， f（x1）–f（x2）= ． ∵