广东省深圳市普通高中2020届高三下学期线上统一测试数学（理）试题

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B 11. D 12. C 12. 解析：当 π π π 4 6 2  −  时，即 8 3   时， max( ) 1 3 f x  = = ，解得 3 = ； 当 π π π 4 6 2  −  时，即 8 0 3   时， max π π ( ) sin( ) 4 6 3 f x   = − = ， 令 π π ( ) sin( ) 4 6 g   = − ， ( ) 3 h   = ， 如图，易知 ( )y g = ， ( )y h = 的图象有两个交点 1 1( , )A y ， 2 2( , )B y ， 所以方程 π π sin( ) 4 6 3   − = 有两个实根 1 2 ， ， 又 8 8 8 ( ) 1 ( ) 3 9 3 g h=  = ，所以易知有 1 2 8 3    ， 所以此时存在一个实数 1 = 满足题设， 综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选 C. 二、填空题： 13. 3− 14. 63 15. 4 15 16. 4 3 16. 解析：由对称性不妨设m n ，易知线段MN 所在直线的方程为 1 2 y x= − ， 又 21 1 2 2 x x x+  − ，点 P 必定不在曲线C 上， 不妨设 1 ( , ) 2 P t t − ， ( )m t n  ，且过点 P 的直线 l 与曲线C 相切于点 2 0 0 0 1 ( , ) 2 Q x x x+ ， 易知 0 |x x PQy k= = ，即 2 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 21 x x t x x t + − − + = − ，整理得 2 0 02 1 0x tx− − = ， （法一）显然 0 0x  ，所以 0 0 1 2t x x = − ， 令 1 ( )f x x x = − ， [ 1,0) (0,3]x − U ， 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图，直线 2y t= 和函数 ( )y f x= 的图象有两个交点， 又 ( 1) 0f − = ，且 8 (3) 3 f = ，  8 0 2 3 t  ，即 4 0 3 t  ，  4 0 3 m n   ， | |m n− 的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 ． （法二）由题意可知 01 3x−   ，令 2( ) 2 1f x x tx= − − ， 函数 ( )f x 在区间[ 1,3]− 上有两个零点， 则 2 ( 1) 2 0 (3) 8 6 0 1 3 4 4 0 f t f t t t − =   = −   −    = + V ，解得 4 0 3 t  ，  4 0 3 m n   ， | |m n− 的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ， 2 2 2+ 2a b c S− = . （1）求 cosC； （2）若 cos sina B b A c+ = ， 5a = ，求b . 解：（1） 2 2 21= sin 2 2 S ab C a b c S+ − =， ， 2 2 2 sina b c ab C + − = ， …………………………………………………………………2 分 在△ ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 sin sin cos 2 2 2 a b c ab C C C ab ab + − = = = ， sin =2cosCC ， …………………………………………………………………………4 分 又 2 2sin +cos C=1C ， 2 5 5cos C=1 cosC= 5 