类型一 圆的基本性质证明与计算-2020年中考数学第二轮重难题型突破

类型一 圆的基本性质证明与计算 命题点1　垂径定理 例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( ) A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 命题点2　圆周角定理 例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______． 重难点1　垂径定理及其应用 例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2. (1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______； 图1 　　 图2 　　 图3 　　图4 探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____； (2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点． ①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________； ②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________． 【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦． 【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为( ) A．4 B．2 D．2 C. 【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________ 1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧． 2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解． 3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长． 重难点2　圆周角定理及其推论 例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长； (2)如图2，若∠A＝45°： ①求BC的长； ②若点C是的中点，求AB的长； (3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长． 图1 图2 　　图3 【变式训练3】　如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( ) A．58° B．60° C．64° D．68° 【变式训练4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( ) A．15° B．28° C．29° D．34° 　　　　　 1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧． 2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补． 在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒． 重难点3　圆内接四边形 例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( ) A．50° B．60° C．80° D．90° 【思路点拨】　延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解． ＝2 【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( ) A．80° B．120° C．100° D．90° 【变式训练6】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________ 1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，