类型二 与切线有关的证明与计算-2020年中考数学第二轮重难题型突破

类型二 与切线有关的证明与计算 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． (1)求证：AB是⊙O的直径； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长． 例2、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值． 例3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：DF是⊙O的切线； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 例4、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE. (1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径． 例5、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E. (1)求证：∠1＝∠CAD； (2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径． 例6、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若BC＝，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长． 例7、如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8. (1)求⊙O的半径； (2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积． 例8、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)连接GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 类型二 与切线有关的证明与计算 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． (1)求证：AB是⊙O的直径； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长． 【分析】：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长． 【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切 (3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝BF＝，则DE＝＝3 例2、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值． 【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC. ＝ 【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线 (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴，∴AH＝AC－CH＝＝，∴AC＝＝，∵△ABC∽△CBG，∴，∴CG＝AG，∴∠A＝∠