专题17 二次函数的面积问题-决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品 专题17二次函数的面积问题 【考点1】二次函数的线段最值问题 【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段DE长度的最大值． 【变式1-1】已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）试说明抛物线与直线有两个交点； （3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值． 【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点2】二次函数的面积定值问题 【例2】已知二次函数 ． （1）图象经过点 时，则 _________； （2）当 时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）以抛物线 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 （M，N两点在抛物线上），请问： 的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-1】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； （3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标． 【变式2-2】如图：已知抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与 交于点C，抛物线对称轴与 轴交于点D， 为 轴上一点． （1）写出点A、B、C的坐标（用 表示）； （2）若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F， ①求抛物线解析式； ②P为线段DE上一动（不与D、E重合），过P作 作 ，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由； （3）如图②，将线段 绕点 顺时针旋转30°，与 相交于点 ，连接 .点 是线段 的中点，连接 .若点 是线段 上一个动点，连接 ，将△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，延长 交 于点 ．若△ 的面积等于△ 的面积的 ，求线段 的长． 【考点3】二次函数的面积最值问题 【例3】已知抛物线 ． （1）求证：抛物线与 轴必定有公共点； （2）若P（ ，y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且y1 y2，求 的取值范围； （3）设抛物线与x轴交于点 、 ，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且 ，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，记△ACE的面积为S1，△DCE的面积为S2，求 是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由． 【变式3-1】如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点. ①求点 的坐标； ②求抛物线的解析式； ③如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 的坐标和 面积的最大值. 【变式3-2】如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 . (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)若点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值. 【考点4】二次函数面积的其它问题 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过 两点，与 轴交于另一点 . （1）求抛物线解析式及 点坐标； （2）连接 ，求 的面积； （3）若点 为抛物线上一动点，连接 ，当点 运动到某一位置时， 面积为 的面积的 倍，求此时点 的坐标. 【变式4-1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)． 1. 求直线与抛物线的解析式． 2.若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝，求当△PON的面积最大时tan的值． 3. 若动点P保持（2）中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【变式4-2】如图 ，抛物线 与直线 交于 、 两点，过 作 轴交抛物线于点 ，直线 交 轴于点