4.2导数在实际问题中的应用-2020春高中数学北师大版选修1-1课件+习题 (2份打包)

§2　导数在实际问题中的应用 A组 1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.- D. 解析:g(x)=x3-x,由g'(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去). 当x变化时,g'(x)与g(x)的变化状态如下表: x 0 1 g'(x) - 0 + g(x) 0 ↘ - ↗ 0 所以当x=时,g(x)有最小值g=-. 答案:C 2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　　) A.-e B.1-e C.-1 D.0 解析:y'=-1,令y'=0,∴x=1,列表如下: x (0,1) 1 (1,e) e y' + 0 - y ↗ -1 ↘ 1-e 由于f(e)=1-e,而-1>1-e,从而y最大值=f(1)=-1. 答案:C 3.函数y=f(x)=(　　) A.有最大值2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为2,最小值为-2 D.无最值 解析:y'=,令y'=0,得x=±1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时,函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值. 答案:C 4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是(　　) A.100单位 B.150单位 C.200单位 D.300单位 解析:由题意知,总成本为C=20 000+100x. 而总利润为P=P(x)=R-C = P'(x)= 令P'(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大. 答案:D 5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益时,存款利率为(　　) A.0.012 B.0.024 C.0.032 D.0.036 解析:由题意,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048). 设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2. 于是y'=0.048k-2kx,令y'=0,解得x=0.024, 依题意知y在x=0.024处取得最大值. 故银行获得最大收益时,存款利率为0.024. 答案:B 6.已知a为实数,函数f(x)=(x2-4)(x-a),若f'(-1)=0,则函数f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　　.  解析:f'(x)=2x(x-a)+(x2-4)=3x2-2ax-4, 因为f'(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=, 于是f'(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4). 令f'(x)=0,得x=-1或x=, 比较f(-2),f(-1),f,f(2)可得函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-1)=. 答案: 7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于　　　　　.  解析:因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上是增加的. 又由于f(x)在[-2,-1]上是减少的,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 答案:-7 8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为　　　　　.  解析:因为f(x)的图像始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x,设h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x-,令h'(x)==0,得x=,所以h(x)在上是减少的,在上是增加的,所以当x=时有最小值,故t=. 答案: 9.导学号01844048已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. (1)求a,b的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值. 解(1)依题意可知点P(1,f(1))为切点,代入切线方程y=3x+1,可得f(1)=3×1+1=4, 所以f(1)=1+a