类型一 最优方案问题-2020年中考数学第二轮重难题型突破

类型一 最优方案问题 例1． 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价 元、每星期售出商品的利润为 元，请写出 与 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 例2 现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植： ．兰花； ．菊花； ．月季； ．牵牛花． （1）求出这块场地中种植 菊花的面积 与 场地的长 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围． （2）当 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH． (1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由； (2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 例4、 一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ （3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析． 图1 A B C D x 30 40 x 图1 (2) A D F B E C (1) E F G H A B D C y x 第1月 第2月 第3月 33 24 13 O 图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 类型一 最优方案问题 例1． 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价 元、每星期售出商品的利润为 元，请写出 与 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元. 【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值. 【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x) ＝6000+400x－300x－20x2  ＝－20x2+100x+6000 自变量 的取值范围是0≤x≤20. （2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值， ∵ ， . ∴当x=2.5时，y的最大值是6125. ∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元. 例2 现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植： ．兰花； ．菊花； ．月季； ．牵牛花． （1）求出这块场地中种植 菊花的面积 与 场地的长 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围． （2）当 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】：当 时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2． 【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出 与 之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 【解析】：（1）由题意知， 场地宽为 ， ∴ ， 自变量 的取值范围为 ． （2） ， 当 时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2． 点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值． 例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若