微专题17 利用导数证明问题或讨论零点个数-2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦

微专题17 利用导数证明问题或讨论零点个数 ——2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦 【考情分析】利用导数求函数的零点或方程根的问题、用导数证明不等式问题是高考命题的重点,命题的角度常见的有：判断函数零点的个数或方程解的个数；根据函数零点的个数或方程解得个数求解参数；利用导数证明不等式.题型以解答题为主，有时也在选择题或填空题的后两题中进行考查,难度较大.重点考查考生函数与方程、转化与化归的思想，数学抽象及数学运算的学科核心素养. 考点一　利用导数求函数的零点或方程根的问题 【典型例题】 【例1】已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数a的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，，则， 解不等式，得，所以，函数在上单调递增； 解不等式，得或，所以，函数在和上单调递减， 因此，函数的极小值为，极大值为； （Ⅱ）由得，由，得， 设，则在内有零点，设为在内的一个零点， 由知，在和上不单调， 设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点． ． 当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上的零点； 当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上的零点； 当时，令，得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 在上存在极小值， 若有两个零点，则有, ， 设，则，令，得． 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减． 所以，，所以，恒成立， 由,得． 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论、函数与方程思想，核心素养是逻辑推理. 利用导数研究函数零点或方程根的方法： (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法. 借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点. 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点. ①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法. 【类比训练1】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求的取值范围. 【解析】(1)