北京市2020年高二数学第二学期导数部分-判断导数符号典型例题

高中数学重点难点突破 判断导数符号的方法 【典型例题分析】 1、导数是多项式型。可以分解因式，穿根法 【例】已知函数.判断在区间上的单调性. 解：由已知. 当时，，函数在区间上为减函数， 当时，函数在区间上为减函数， 当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数. 【举一反三】 【练】已知函数，求的单调区间。 【提示】： 的单调递减区间是（）；单调递增区间是 2、导数不是多项式型。根据结合表达式的特点，并通过求导数零点判断表达式符号。 【例】已知函数f(x)=ex+2ax+1在区间[1,+上单调递增，求a的取值范围。 解：①当a≥0时，函数y=ex和y=2ax+1都为[1,+上的增函数，符合题意。 ②当a<0时，， 令，得x=ln(-2a)， 所以，当x<ln(-2a)时，，函数f(x)单调递减； 当x>ln(-2a)时，，函数f(x)单调递增. 又因为函数f(x)=ex+2ax+1在区间[1,+上单调递增， 所以，ln(-2a)≤1，即 由①②可知，a的取值范围为 【举一反三】 【练】设函数，.求函数在上的最小值． 【提示】①时，. ②时，. ③时， 3、导数不能求零点。利用最值考虑 【例】设，其中．若对恒成立， 求的取值范围． 解：的定义域是，且． 易知的最小值为2 ① 当时，由， 所以 ． 所以 在区间上单调递增， 所以 恒成立，符合题意． ② 当时，由， 且的导数， 所以 在区间上单调递增． 因为 ，， 于是存在，使得．12分 所以 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 ，此时不会恒成立，不符合题意． 综上，的取值范围是． 【举一反三】 【练】已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c. (1)确定a，b的值； (2)若c＝3，判断f(x)的单调性； (3)若f(x)有极值，求c的取值范围． 【提示】(1) a＝1，b＝1.(2) f(x)在R上为增函数．(3)c的取值范围是(4，＋∞)． 4、构造新函数 【例】设函数