点面距离与多面体体积-人教A版高中数学必修二讲义及题型归纳

点面距离 模块一：点面距离 1．点在直线上的射影． 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影．点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2．点在平面内的射影． 自点向平面引垂线，垂足叫做点在平面内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． 3．斜线在平面内的射影． 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 4．求点面距离的方法： ①直接法：直接作面的垂线，确定垂足的位置； ②等体积法：对同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可． ③转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见的是转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 考点1：求点面距离 例1.如图，中，，，为的中点，沿将折起，使得平面平面，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解答】（1）证明：由题意，是等边三角形，取的中点，连接，则， 平面平面，平面平面， 平面， ， ，， 平面， 平面平面， 是的中点， ， 平面； （2）解：连接交于，则， ， 点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即为， 是边长为1的等边三角形， 点到平面的距离是． 例2.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，，，，，点是棱的中点． （1）求证：； （2）求点到面的距离． 【解答】证明：（1）四边形为矩形，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ． （2）取的中点，连结， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，平面， ， ， ， 面，故， 点到面的距离为． 考点2：求多面体体积 例3.如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）证明：因为四边形为矩形，、分别为、的中点 连接交于， 因为：与相交且互相平分，交点为中点； 过点，且为中点； 、分别为、的中点， 在中， 为三角形的中位线， ； 面，面 面； （2）证明：四边形为矩形，， 平面平面，