空间几何体的表面积与体积-人教A版高中数学必修二讲义及题型归纳

考点2：几何体的表面积与体积 例3.（1）如图，一个底面半径为 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 的实心铁球，水面高度恰好升高 ，则 　　． 【解答】解：半径为 的实心铁球的体积是： 升高的水的体积是： 所以： EMBED Equation.DSMT4 故答案为： ． （2）圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入三个相同的球（球的半径为圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆柱形容器内部盛的 的水的体积与三个球的体积之和等于圆柱形容器高为6倍球的半径的体积， 设球的半径为 ． EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ． 故选： ． （3）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：设正三棱柱的底面积为 ，则 ． ， ， ， 分别为所在棱的中点， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 则图甲中水面的高度为 ． 故选： ． 例4.（1）如图所示，扇形 的半径为2，圆心角为 ，若扇形 绕 旋转一周，则图中阴影部分绕 旋转一周所得几何体的体积为 　　 A． B． C． D． 【解答】解：扇形 的半径为2，圆心角为 ， 扇形 绕 旋转一周， 图中阴影部分绕 旋转一周所得几何体为： 半径为 的半球去掉一个底面半径为 ，高为 的圆锥， 图中阴影部分绕 旋转一周所得几何体的体积为： ． 故选： ． （2）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，在直角梯形内挖去一个以 为圆心，以 为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积、表面积． 【解答】解： 直角梯形 中， ， ， ， ， ， ， 由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面， ， ， ． 故所求几何体的表面积为： ． 由 ， ， 所以，旋转体的体积为： ． $$