1.1.2 基本不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第2课时　基本不等式 [课标领航]　1.了解两个正数的算术平均与几何平均．　2.理解定理1和定理2(基本不等式)．　3.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题． 1．定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． 2．算术平均与几何平均 如果a，b都是正数，我们就称________为a，b的算术平均，________为a，b的几何平均． 3．定理2(基本不等式) 如果a，b>0，那么________，当且仅当________时，等号成立．即：两个________的算术平均________它们的几何平均． 4．利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， (1)如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值； (2)如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值． 自我校对 1．≥　a＝b 2.　 3．≥　a＝b　正数　不小于(即大于或等于) 4．(1)x＝y　大　(2)x＝y　小 1．设0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中值最大的是(　　) A．a2＋b2　　　　　　　 B.a＋b C．2ab D.2 解析：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b， ∴a＋b>2，a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a＋b， a2＋b2>2ab，且ab<. 答案：B 2．下列不等式中，正确的是(　　) A．若a，b∈R则≥ B．若x∈R，则x2＋2＋≥2 C．若x∈R，则x2＋1＋≥2 D．若a，b>0，则≥ 解析：若a，b为负数，则≥不成立， ∵x2＋2≥2，≤，∴x2＋2≠，∴B错． D选项中，∵a，b>0，且(a＋b)与(＋)之间大小不能确定． 又∵a＋b≥2，∴推不出＋≥2，故D错．所以选C. 答案：C 3．函数y＝3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B.－3[来源:Z#xx#k.Com] C．6 D.6－3 解析：∵x2＋1≥1>0， ∴3x2＋＝3(x2＋1)＋－3 ≥2－3＝6－3. 答案：D 4．设x>0，则函数y＝3－3x－的最大值是________． 解析：y＝3－≤3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．∴ymax＝3－2. 答案：3－2 5．已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________． 解析：∵lg x＋lg y＝2， ∴lg (xy)＝2.∴xy＝102. ∴＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立． 答案： 1．重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0仍然能使≥成立． 两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，而a＝b是不等式中等号成立的充要条件． 2．由公式a2＋b2≥2ab和≥可得以下结论： (1)＋≥2(a、b同号)； (2)≤≤≤ (a，b∈R＋)． 3．定理中a，b可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 类型一　利用基本不等式证明不等式 例1►已知a，b，c为正实数． 求证：(1)(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc； (2)a＋b＋c≥＋＋. 【思路导引】　 【证明】　(1)∵a，b，c为正实数， ∴a＋b≥2>0， b＋c≥2>0， c＋a≥2>0， 由上面三式相乘可得 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8··＝8abc. (2)∵a，b，c为正实数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2， 由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2. 即a＋b＋c≥＋＋. 【点拨提升】　(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备均值不等的结构和条件，然后合理地选择均值不等式或其变形形式进行证明． (2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件．若本题中三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相乘或相加所得的式子中“＝”号取不到． 1．(1)已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c； (2)已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明：(1)∵a>0，b>0，c>0， ∵＋b≥2＝2a， 同理：＋c≥2b，＋a≥2c， 三式相加，得＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c. (2)∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥. 同理：－1≥，－1≥. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 类型二　利用基本不等