1.1.3 三个正数的算术——几何平均不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第3课时　三个正数的算术－几何平均不等式 [课标领航]　1.探索并了解三个正数的算术－几何平均不等式的证明过程．　2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．　3.会用平均不等式解决实际中的应用问题． 1．如果a，b，c∈R＋那么a3＋b3＋c3________3abc，当且仅当________时，等号成立． 2．定理3：如果a，b，c∈______，那么________，当且仅当________时，等号成立．即：三个正数的算术平均________它们的几何平均． 3．对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均____________________________ 它们的几何平均，即________，当且仅当________时，等号成立． 自我校对 1．≥　a＝b＝c　 2．R＋　≥　a＝b＝c　不小于 3．不小于　≥　a1＝a2＝…＝an 1．设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是(　　) A. a、b、c全为正数　　　 B.a、b、c全为非实数 C．a＋b＋c≥0 D.a＋b＋c>0 解析：∵a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc ＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c)[a2＋2ab＋b2－ac－bc＋c2－3ab] ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca) ＝(a＋b＋c)×[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]， ∵a、b、c是不全相等的实数， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0， ∴a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0⇔a＋b＋c≥0. 答案：C 2．已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　) A．最小值3 B.最大值3 C．最小值2 D.最大值2 解析：∵a>0，b>0，c>0，∴＋＋≥3＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号，∴＋＋有最小值3. 答案：A 3．已知a，b，c∈R＋x＝，y＝，z＝，则(　　) A．x≤y≤z B.y≤x≤z C．y≤z≤x D.z≤y≤x 解析：∵a，b，c∈R＋ ∴≥， ∴x≥y，又x2＝， z2＝， ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2， ∴z2≥x2，∴z≥x.即y≤x≤z. 答案：B 4．函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值为________． 解析：f(x)＝x＋x＋≥3＝3×3＝9，当且仅当x＝2时取等号． 答案：9 5．已知a，b，c∈R＋，则≥________． 解析： ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋6＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号． 答案：9 1．应用三个正数的算术－几何平均不等式应注意的三点 (1)三个及三个以上正数的算术、几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． (2)n个正数a1，a2，…，an的算术平均值是，几何平均值是，在应用时，最容易被误写为及，这是受两个正数的均值定理的影响造成的． (3)应用三个正数的算术－几何平均值不等式时还可能用到下面的重要不等式链：≤≤≤ . 2．在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大、最小值时，应注意的三点： (1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变形为正数． (2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值．若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值． (3)利用算术平均数与几何平均数定理求最值时，必须能取到等号．若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取到等号． 类型一　应用三个正数的算术－几何平均不等式求函数的最值 例1►已知x∈R＋求函数y＝x(1－x2)的最大值． 【思路导引】　→→→ 【解析】　∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2 ＝2x2(1－x2)(1－x2)·. ∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤ ＝. 当且仅当2x2＝1－x2， 即x＝时取“＝”号． ∴y≤. ∴y的最大值为. 【点拨提升】　(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)运用三正数平均值不等式求最值，一定要满足：“一正、二定、三相等”的条件，缺一不可． (3)拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符