1.2.1 绝对值三角不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二节　绝对值不等式 第1课时　绝对值三角不等式 [课标领航]　1.理解绝对值的几何意义；　2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义；　3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用． 1．绝对值的几何意义 (1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为________的点A到________的距离． (2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的________，即线段AB的________． 2．绝对值三角不等式 (1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当________时，等号成立． (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b 换成向量a，b，则它的几何意义是________． 3．三个实数的绝对值不等式 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当________时，等号成立． 自我校对 1．(1)a　原点　(2)距离　长度 2．(1)ab≥0　(2)三角形两边之和大于第三边 3．(a－b)(b－c)≥0 1．若|x－a|<h，|y－a|<k，则下列不等式一定成立的是(　　) A．|x－y|<2h　　　　 B.|x－y|<2k C．|x－y|<h＋k D.|x－y|<|h－k| 解析：|x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|<h＋k. 答案：C 2．已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是(　　) A．|a＋b|>|a－b| B.|a＋b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D.|a－b|<|a|＋|b| 解析：∵ab<0， ∴|a＋b|<|a－b|. 答案：B 3．下列不等式中恒成立的个数是(　　) ①x＋≥2(x≠0)； ②<(a>b>c>0)； ③>(a，b，m>0，a<b)； ④|a＋b|＋|b－a|≥2a. A．4 B.3 C．2 D.1 解析：①假，当x<0时不等式不成立； ②真，a>b>c>0⇒>即>， 又由于c>0， 故有>；③真，因为－＝ >0(a，b，m>0，a<b)，故>； ④真，由绝对值不等式的性质可知： |a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a| ≥2a，故选B. 答案：B 4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________． 解析：当a＋b与a－b同号时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2. 当a＋b与a－b异号时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2. 综上，可知|a＋b|＋|a－b|<2. 答案：|a＋b|＋|a－b|<2 5．已知|a＋b|<－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式： ①a<－b－c；②a>－b＋c；③a<b－c；④|a|<|b|－c； ⑤|a|<－|b|－c. 其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上)． 解析：∵|a＋b|<－c， ∴c<a＋b<－c， ∴a<－b－c，a>－b＋c，①②成立， |a|－|b|<|a＋b|<－c， ∴|a|<|b|－c，④成立． 答案：①②④ [来源:学。科。网] 1．对绝对值三角不等式的理解 (1)绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式： |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. (2)和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0，ab<0，ab＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯． (3)含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如： |a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|； |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|； |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)； |a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)； |a|－|b|＝|a＋b|[(a＋b)b≤0]； |a|－|b|＝|a－b|[(a－b)b≥0]． 2．对绝对值三角不等式几何意义的理解 用向量a，b替换实数a，b时．问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，a＋b，a，b构成三角形．有|a＋b|<|a|＋|b|.当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab≥0)时．|a＋b|＝|a|＋|b|；a，b反向(相当于ab<0)时，|a＋b|<|a|＋|b|.这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地