知识整合与阶段检测（一）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（一） 突破一　不等式基本性质的应用 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想． 例1►若a、b∈R，a>b，则下列不等式成立的是（ ） A.<　　　　 B.a2>b2 C.> D.a|c|>b|c| 【解析】　应用间接排除法，取a＝1，b＝0排除A.取a＝0，b＝－1，排除B.取c＝0排除D，故选C. 【答案】　C 突破二　基本不等式的应用 1．证明不等式 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好． 例2►若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 求证：＋＋≥. 【证明】　∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1. ∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)． ∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]· ≥3×3＝9. ∴原式得证． 2．求函数的最值 在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)x、y为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可． 例3►当0<x<时，函数f(x)＝的最小值为(　　) A．2 B.2 C．4 D.4 【解析】　利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用均值不等式求解． f(x)＝＝＋. ∵x∈，∴sin x＞0，cos x＞0. 故f(x)＝＋≥2＝4，故选C.[来源:学&科&网] 【答案】　C 3．解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的． 例4►如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔的面积忽略不计) 【解析】　方法一：设流出的水中杂质的质量分数为y， 由题意y＝(k>0)，其中k为比例系数． 又据题意设2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， ∴b＝(由a>0，b>0，可得a<30)． ∴y＝＝. 令t＝a＋2，则a＝t－2， 从而＝ ＝＝34－≤34－2＝18， ∴y＝≥. 当且仅当t＝，即t＝8，a＝6时取“＝”号． 由a＝6，得b＝3. 综上所述，当a＝6 m，b＝3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小． 方法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝，其中k为比例系数，k>0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值． 题设4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋2b＋a＝30(a>0，b>0)， ∵a＋2b≥2(当且仅当a＝2b时取“＝”号)， ∴ab＋2≤30，可解得0<ab≤18. 由a＝2b，及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3， 即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小． 突破三　 绝对值不等式的解法 1．公式法 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)． 2．平方法 |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2. 3．零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解． 例5►解下列关于x的不等式： (1)|x－x2－2|>x2－3x－4； (2)|x＋1|>|x－3|； (3)|x2－2|x|－2|≤1； (4)|x－2|－|2x＋5|>2x； (5)|2x－1|<|x|＋1. 【解析】　(1)方法一：原不等式等价于 x－x2－2>x2－3x－4或x－x2－2<－(x2－3x－4)， 解得1－<x<1＋或x>－3， ∴原不等式的解集为. 方法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2(x2－x＋2>0)， ∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4⇔x>－3， ∴原不等式的解集为. (2)方法一：|x＋1|>|x－3|， 两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8，∴x>1，[来源:Zxxk.Com] ∴原不等式的解集为. 方法二：分段讨论： 当x≤－