知识整合与阶段检测（二）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（二） 突破一　比较法证明不等式 比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．证明的步骤大致是：作差(商)——恒等变形——判断结果的符号(与1的关系)．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形目的全在于判断差的符号或商与1的关系 ，而不是考虑差或商能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． 例1►若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0， 求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)． 【证明】　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx) ＝＋＋ ＝＋ ＋≥0， ∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立． 例2►设a>0，a≠1，0<x<1. 求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 【证明】　＝|log(1＋x)(1－x)|. ∵1＋x>1，0<1－x<1， ∴log(1＋x)(1－x)<0， ∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x) ＝log(1＋x)＝log(1＋x) ＝1－log(1＋x)(1－x2)． ∵0<1－x2<1，1＋x>1， ∴log(1＋x)(1－x2)<0， ∴1－log(1＋x)(1－x2)>1， 即>1. ∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 突破二　综合法和分析法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论． 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，既由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式． 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效． 分析法和综合法是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用． 例3►已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证： ＋≤2.[来源:Zxxk.Com] 【证明】　要证 ＋≤2， 只要证≤4， 即证a＋b＋1＋2≤4. 只要证≤1. 也就是要证ab＋(a＋b)＋≤1， 即证ab≤. ∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，即上式成立． 故 ＋≤2. 突破三　反证法和放缩法证明不等式 运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题．涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法． 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以利化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法．它是证明不等式的特殊方法． 例4►用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半． 【解析】　已知：如图，在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中点． 求证：AD<BC. 证明：假设AD≥BC. (1)若AD＝BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠CAB＝90°，与题设矛盾． 所以AD≠BC. (2)若AD>BC，因为BD＝DC＝BC， 所以在△ABD中，AD>BD， 从而∠B>∠BAD. 同理∠C>∠CAD. 所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD， 即∠B＋∠C>∠CAB. 因为∠B＋∠C＝180°－∠CAB， 所以180°－∠CAB>∠CAB， 则∠CAB<90°，这与题设矛盾． 由(1)(2)知AD<BC. 例5►若n∈N＋，n≥2，求证：－<＋＋…＋<1－. 【证明】　∵＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝－， 又＋＋…＋<＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝1－. ∴－<＋＋…＋<1－. 突破四　本讲中的数学思想方法 1．数形结合思想 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象，巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决． 例6►已知直线：y＝kx＋h(h，k≠0)与x轴相交于A点，与y轴相交于B点，且与椭圆C：＋＝1没有公共点，求证：|AB|>a＋b. 【证明】　由得 (b2＋