打包 第二讲 证明不等式的基本方法（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第一节　比较法 [课标领航]　1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据．　2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．　3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用． 　比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法 作商比较法 定义[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K] 要证明a>b，只要证明________ 要证明a<b，只要证明 ________[来源:学。科。网][来源:Z+xx+k.Com] 要证明a>b>0，只要证明________ 要证明b>a>0，只要证明________ 步骤 作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论 作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论 自我校对 a－b>0　a－b<0　>1　>1 1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系为(　　) A．A≤B　　　　　　 B.A≥B C．A<B或A>B D.A>B 解析：利用作差法．∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0. ∴A≥B. 答案：B 2．下列命题： ①当b>0时，a>b⇔>1； ②当b>0时，a<b⇔<1； ③当a>0，b>0时，>1⇔a>b； ④当ab>0时，>1⇔a>b. 其中真命题是(　　) A．①②③ B.①②④ C．④ D.①②③④ 解析：由不等式的性质知，不等式两端乘以同一个正数，不等号不变，∴①②③都正确． 而④中ab>0，只能说明a、b同号，不一定同正，故错误． 答案：A 3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b 解析：方法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法． 令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2， 即a>－b>b>－a. 方法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a<b<0， ∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a. 答案：C 4．设S＝－1，T＝－，则S与T的大小关系为______． 解析：S2＝8－2，T2＝8－2，又<， 所以S2>T2.而S>0，T>0，故而S>T. 答案：S>T 5．若c>a>b>0，比较大小：________.(填“>”“＝”或“<”) 解析：∵c>a>b>0，∴c－b>c－a>0， ∴>>0，又∵a>b>0，∴> . 答案：> 1．证明不等式的主要理论依据 (1)比较两个实数大小的三个充要条件 ①a>b⇔a－b>0.②a＝b⇔a－b＝0.③a<b⇔a－b<0. (2)不等式的性质 要系统地掌握好不等式的性质．不等式的性质体系是逻辑推理的依据，离开了这些系统性质，推理的严密性就无从谈起．因此要反复熟悉不等式性质的每条具体内容，结合具体问题用准、用熟、用活． (3)重要不等式 ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，取“＝”号； ②≥(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，取“＝”号(算术平均数与几何平均数定理)． 在不等式证明过程中还常常使用下面两个不等式： ①a2≥0；②＋≥2(a，b同号)． (4)绝对值三角不等式 ①若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． ②设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立的充要条件是(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间． ③|a＋b|≥||a|－|b||，|a－b|≥||a|－|b||，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 证明不等式，是没有固定的模式可以套用的，证明方法灵活多变，技巧性强、综合性强． 2．比较法证明不等式 (1)作差法 由于a>b⇔a－b>0，因此，证明a>b，可以转化为证明与之等价的a－b>0，这种证明方法即为作差法，其一般的证明步骤为： ①作差：考查不等式左、右两边构成的差式，将其看做一个整体； ②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的乘积，或变形为一个或几个平方的和等； ③判断符号：根据已知条件，结合上述变形结果，判断不等式两边差的符号； ④结论：肯定所求证的不等式成立． 其中，比较法证明不等式的关键在变形，而变形的技巧在于将差式进行重新组合、合理搭配，目的是有利于判断差式的符号．该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明． (2)作商法 由于当b>0时，a>b⇔>1，因此，证明a>b(b>0)可以转化为证明与之等价的>1(b>0)，这种证明方法我们称为作商比较法，其一般的步骤为：①作商；②变形；③判断与1的大小；④下结论． 类型一　利用作差比较法证明不等式 例1►求证