知识整合与阶段检测（三）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（三） 突破一　利用柯西不等式证明不等式 1．柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零． 2．利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． 3．可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义． 例1►已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋. 【证明】　由柯西不等式 ≥， 于是＋＋＋≥＋＋＋ ① 等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d. 又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立． 即＋＋＋＞＋＋＋. 例2►设a，b，c，d为不全相等的正数． 求证：＋＋＋＞. 【证明】　记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 ＋＋＋＞. 构造两组数 ，，，；，，，，由柯西不等式得 [()2＋()2＋()2＋()2]· ≥(1＋1＋1＋1)2. 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ≥16， 于是＋＋＋≥， 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号， 即＋＋＋ ＞. 突破二　利用柯西不等式求最值 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式为我们通过不等式求最值提供了新的工具．但要注意取等号的条件能否满足． 例3►应用：设ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，且∑n i＝1ai＝1，求： S＝＋＋…＋的最小值． 【解析】　S＝＋＋…＋关于a1，…，an对称，不妨设1＞a1≥a2≥…≥an＞0， 则0＜2－a1≤2－a2≤…≤2－an，[来源:Z.xx.k.Com] 且≥≥…≥＞0， 所以S≥(a1＋a2＋…＋an) ＝. 又由算术平均值不等式，得 [(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]≥n2， 而(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)＝2n－1， 所以S≥×＝， 当且仅当a1＝a2＝…＝an＝时，上面n个不等式的等号成立，于是S的最小值为. 例4►已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值． 【解析】　由柯西不等式： [x2＋(2y)2＋(3z)2] ≥. 因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)， 所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤. 因为x＋y＋z的最大值是7，所以＝7，得a＝36， 当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，所以a＝36. 突破三　排序不等式的应用 1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在． 2．注意等号成立的条件． 例5►在ΔABC中，试证：≤＜. 【证明】　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC. aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)． 得≥ ① 又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜. ② 由①、②得原不等式成立． 突破四　化归与转化思想 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是，通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式． 例6►设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2. 【证明】　根据柯西不等式，有： [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2] ≥＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2. 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． ∴原不等式成立． 1．已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为(　　) A．a2＋b2　　　　　　　　 B.2ab C．(a＋b)2 D.4ab 解析：＋＝(sin2α＋cos2α)≥(a＋b)2，故应选C. 答案：C 2．已知x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：x2＋y2＋z2＝ ≥＝，选A. 答案：A[来源:Zxxk.Com] 3．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的大小关系是(　　) A．y1y2＜x1x2 B.y1y2＝x1x2 C．y1y2＞x1x2 D.不能确定 解析：y1y2＝ y1y2－x1x2＝＞0 ∴y1y