4.2 用数学归纳法证明不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二节　用数学归纳法证明不等式 [课标领航]　1.会用数学归纳法证明简单的不等式．　2.会用数学归纳法证明贝努利不等式．　3.了解贝努利不等式的应用条件． 1．本节的有关结论 (1)n2＜2n(n∈N＋，________)； (2)|sin nθ|≤________|sin θ|，(n∈N＋)； (3)贝努利不等式： 如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有____________． 当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有____________． 当α是实数并且0＜α＜1时，有________________． (4)如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥________． 2．用数学归纳法证明不等式 在数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是______． 自我校对 1．(1)n≥5　(2)n　(3)(1＋x)n＞1＋nx　(1＋x)α≥1＋αx　(1＋x)α≤1＋αx　(4)n 2．比较法 1．利用数学归纳法证明不等式“n2＜2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为(　　) A．1　　　　　　　　 B.3 C．5 D.7 解析：12＜21，22＝22，32＞23，42＝24，利用数学归纳法验证n≥5，故n0值为5. 答案：C[来源:学科网ZXXK] 2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　) A．2k－1 B.2k－1 C．2k D.2k＋1 解析：当n＝k时，不等式1＋＋＋＋…＋＜k成立； 当n＝k＋1时，不等式的左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋， 比较n＝k和n＝k＋1，则左边增加了2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k项． 答案：C 3．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于(　　) A．n B.n2 C．n3 D.－ 解析：∵(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0， ∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0. ∴a2＝4或a2＝0(舍去)．[来源:学*科*网] 同理a3＝9或a3＝1(舍去)， ∴猜想an＝n2. 答案：B 4．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________． 证明：当n＝2时，要证明的式子为 2＜1＋＋＋＜3. 答案：2＜1＋＋＋＜3 5．观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：______________________________________________. 解析：1，1＝12， 2，2＋3＋4＝32 3，3＋4＋5＋6＋7＝52， 4，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …… n，n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 1．用数学归纳法证明不等式 在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构． 2．贝努利不等式 如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx.[来源:学科网] 证明：(1)当n＝2时，由x≠0得(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即有(1＋x)k＞1＋kx. 当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x. 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立． 把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，仍有类似不等式成立，它们是贝努利不等式的更一般的形式： 当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)； 当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)． 3．观察、归纳、猜想、证明的方法 这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成