2019全国中考数学压轴题二次函数压轴题（新颖题型）

最值问题 定角对定边（弦）模型 1．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0） ∴ 解得： ∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3 （2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点M（1，4） ∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点P坐标为（0，p） ∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2 解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣） ②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3） ③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝ ∴P（0，） 综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形． （3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G ∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心 ∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3 ∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2 ∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32 ∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣）2+（n+）2＝ ∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为 ∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动 ∴当点I