微专题15 导数的单调性、极值点、极值、最值-2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦

微专题15 函数的单调性、极值点、极值、最值 ——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦 【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、数学抽象的学科核心素养. 考点一 利用导数研究函数的单调性 【必备知识】 1、函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内 (1)如果，那么函数在单调递增； (2)如果，那么函数在单调递减； (3)如果，那么函数在上是常数函数. 2、由导数求单调区间的步骤 (1)求定义域. (2)求导数. (3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间. 3、两个条件 (1)是函数为增函数的充分不必要条件. (2)是函数为减函数的必要不充分条件. 4、三点注意 (1)在函数定义域内讨论导数的符号. (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”. (3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间. 【典型例题】 【例1】已知函数,当时，讨论函数的单调性. 【解析】函数的定义域为， 则， 令解得， 当即a=1时，恒成立，则的单调递增区间为， 当即a>1时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当即0<a<1时，的单调递增区间为， 综上所述：当时，的单调递增区间为；当a>1时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算. 利用导数讨论(证明)函数在内单调性的步骤 (1)求. (2)确认在内的符号. (3)得出结论:时为增函数,时为减函数. 注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类的标准（i）按导函数是否有零点分大类；（ii）在大类中再按导函数零点的大小比较分小类；（iii）在小类中再按零点是否在定义域中分类. 【类比训练1】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）略. 【解析】（1）， 令，， 则，则在上单调递增， ①.若，则，则，则在上单调递增； ②.若，则，则，则在上单调递减； ③.若，则，，又在上单调递增， 结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得， 当时，