2020年印度国家数学奥林匹克奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2020印度国家数学奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源：https://artofproblemsolving.com/community/c1051295 第一天 1.如图，圆 1 2 ， 圆心分别为 1 2,O O ，交于点 A, B.已知两个圆 心均在另一个圆外. 过 B 作 1 切线与圆 2 再次相交于点 C, 过B作 2 切线与圆 1 再次相交于点D, ∠DAB平分线与圆 1 再次相交于 X, ∠CAB 平分线与圆 2 再次相交于 Y. 若 P,Q 分别为△ACD, △AXY 外心, 求证: PQ⊥ 1 2O O . 2.实系数多项式 ( )P x 满足 (cos sin ) (cos sin )P P      对 任意实数 θ成立.证明 ( )P x 可以表示为 2 2 2 2 0 1 2( ) (1 ) (1 ) ... (1 ) n nP x a a x a x a x        的形式, 其中 0 1, ,... na a a 为实数, n 为非负整数. 3.设 S 为集合{0,1,2,...9}的子集. 若存在正整数 N, 使得对任 意整数 n＞N, 总能找到正实数 a,b,满足a b n  ,且 a,b 在十 进制表示下的所有数字(不包括开头的 0)都属于集合 S. 求 | |S 的最小值. https://artofproblemsolving.com/community/c1051295 第二天 4. 整数 n≥2, 实数 1 21 ... na a a    满足 1 2 ... 2na a a n    . 求证: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2... ... ... 2 ...n n na a a a a a a a a a a a       . 5.平面上有无数条互相平行且等距的直线. 若可以作一个正 n 边形, 使得它的所有顶点都在这些直线上, 且任意一条直 线上的顶点都不超过 1 个,就称 n 是”可框架的”. (1)证明 3,4,6 是”可框架的”. (2)证明 n≥7 时, n 不是”可框架的”. (3)判断 5 是否”可框架的”, 并给出理由. 6.我们将 3×1