2019年韩国国家数学奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019 韩国国家数学奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c1009458_2019 第一天 1.数列 1 2 2019, ,...,a a a 满足下列条件： 1 11, 2019 1n na a a   . 设实数 1 2 2019, ,...x x x 满足 1 2019 2019 1,x a x a  (其他的任意) 证明: 2018 2018 2 2 1 2019 2020 1 1 ( 2019 1) ( 2019 1)k k k k k k x x a a           . 2.锐角△ABC 三边长各不相同. 设 I 为其内心, Ω 为其外接圆. E 为点 A 所对的 旁心. 以 E 为圆心, EA 为半径作圆 Γ. 圆 Γ与圆 Ω再次相交于点 D(D≠A), 过 A 作 BC 的垂线交圆 Γ 于点 K(K≠A), L 为点 I 到 AC 的垂足. 若 AE 与 DK 交于点 F, 证明 2BE CI CF CL   . 3.设正整数 , ,m n k 满足方程 2 2 2 21 2 ,2 1 11m n m k    求n被 17 除所得的余数. 4.设 1 1 1 2 2 2 19 19 19( , , ), ( , , )...( , , )x y z x y z x y z 为整数. 证明存在不同的下标 , ,i j k 使得 , ,i j k i j k i j kx x x y y y z z z      均为 3 的倍数. https://artofproblemsolving.com/community/c1009458_2019 第二天 5.求所有的函数 f ： ,使得 2( ( ) ) ( )f f x x y yf y   恒成立. 6.锐角△ABC中, AB>AC. 设 I为其内心, Ω为其外接圆. 过A作AD⊥BC于D. 设 AI 交 Ω 于点 M(M≠A), 过 M 作 AM 垂线与 AD 交于点 E. 过 I 作 AD 垂线,垂足 为 F. 求证: ID AM IE A