2019年巴西国家数学奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019 巴西国家数学奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 考试时间:2019 年 11 月 11 日. 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c1007703 第一天 1.设圆 1 与 2 圆心分别为 1 2,C C , 且相交于两点 ,P Q . 若三角形 1 2PC C 的外 接圆与 1 再次相交于点 A, 与 2 再次相交于点 B, 且 Q 点在△PAB 内部. 证明 点 Q 为△PAB 内心. 2.在实数轴上标记两个点 0 和 1. 我们可以进行如下操作: 找出已经标记好的两 个点 a和 b, 然后标记点 a关于 b 的对称点. 记 ( )f n 为标记数轴上的数字 n 所 需要的最少操作步骤. 例如, (0) (1) 0, ( 1) (2) 1f f f f     . 求 ( )f n . 3.求所有的函数 * *:f  , 使得对任意的正实数 , , ( ( )) ( ( ) ( ))x y f xy f x f f x f y x   成立. https://artofproblemsolving.com/community/c1007703 第二天 4.证明,对所有的正整数 m, 存在一个正整数 mn , 使得对大于等于 mn 的任意正 整数 n, 存在一组正整数组 1 2, ,.... na a a ,满足 1 2 1 1 1 ... 1 m m m na a a     . 5.(1)对给定的满足1 2a b   的常数 ,a b , 证明: 不存在把正整数集划分为 它的两个子集 0 1,A A 的方法，使得对任意 {0,1}, , jj m n A  ,都有 n a m  或 n b m  成立. (2) 求所有的满足1 2a b   的常数对 ,a b ,使得我们可以把正整数集划分为 它的三个子集 0 1 2, ,A A A ，满足对任意 {0,1 2}, , jj m n A ， ,都有 n a m  或 n b m  成立. 6.圆内接的凸五边形 1 2 3 4 5A A A A A 满足对任意 {1, 2, 3, 4, 5}i