2.探讨导数在高中数学解题中的有效应用-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

探讨导数在高中数学解题中的有效应用 ■吴贤盛 导数在中学阶段的学习可谓是十分重 要,其在数学解题中运用十分广泛。同学们 运用导数知识进行数学解题,不但能够训练 思维方式,而且还可以简化解题的难度。 一、导数在数学解题中的运用 (一)利用导数求单调性 当我们需要判断函数f(x)在某一区间 上的单调性时,只需要简单地对函数进行此 区间上的求导,当导数大于零时,我们就称它 在此区间内单调递增,反之,单调递减。 例如,已知函数f(x)=xlnx,求其单调 性。可知此函数的定义域为x>0,对原函数 进行求导,当导数大于0时,解为x> 1 e ,当 导数小于0时,解为x< 1 e 。由此可知,当 x> 1 e 时,函数单调递增;当x< 1 e 时,函数单 调递减。 (二)利用导数求不等式 近几年的高考命题比较趋向于知识点的 灵活性和考题的综合化,其中最典型的就是 将函数和不等式结合起来对同学们的数学解 题能力进行考查。而在这些高考试题中,大 多与不等式相关的题目都可以运用导数知识 进行解答,使答题更加简单快捷,大大节约做 题时间,并提高答题效率。例如,在使用导数 证明不等式的过程中,首先,我们把待证明的 不等式进行简单变形,转化成为判断两个函 数大小的问题;然后,我们构建出一个辅助函 数进行求导;最后,在判断完导数的正、负后, 确定辅助函数的单调性,从而轻易地对函数 的大小进行判断,达到证明不等式的目的。 特别是在证明指数函数、对数函数和三角函 数等相关不等式时,如果我们运用导数知识 进行解答,会使解答过程更加简便快捷,大大 提高解题效率。 例如,已知函数f(x)=xlnx+(1-x) ln(1-x),x∈(0,1),求其最小值。因为 f(x)=lnx-ln(1-x),令f(x)=0,解得 x= 1 2 。当0<x< 1 2 时,f(x)<0;当 1 2< x<1时,f(x)>0。所以f(x)的最小值为 f 1 2( )=-ln2。 求解函数的最值一直都是高考中的重难 点,传统的求解方法很多。而利用导数的方 式对其进行求解时,很有可能会产生新的解 题思考切入点和解题技巧。在很多时候,它 也是最为快捷、最为简便的一种解题方法。 比如说在最具有典型性的二次函数求解最值 的试题中,等于在其所求的特定区间内的最 值包括了最大值和最小值,具有参数,因此这 也是一个难点。传统的解题方式一般是运用 数形结合方法对其进行求解,但这种方法的 求解过程通常较为烦琐、复杂。但如果用导 数进行求解,就只需要在明确函数最值与相 应函数的对应关系后,对函数在该区间上的 单调性及其最值进行判断,这样解题过程十 分简洁明了,解题效率也很高。 由此可见,我们对特殊的复合函数求最 值,很难从传统的解题方法中找到突破口和 出发点时,就可以运用导数的知识,先将其对 应的定义域求出,进而快捷地求出其最值。 二、结束语 导数就像一条纽带,把高中数学和下一阶 段的大学数学的知识完整地连接起来,但是由 于高中教材将导数内容安排在了后面,所以导 致很多同学不能很好地利用导数进行解题。 所以同学们在平时的学习中,应重点加大对导 数的应用比例,扩大对导数的运用范围,针对 导数问题进行重点训练。如此我们就能在应 对高中数学问题的解答中,掌握多种方法、多 种思路、多种途径,以此提高解题效率,更快地 解决问题,并加强解决实际问题的能力。 作者单位:浙江金华第一中学 6 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年2月 $$