3.浅探垂足三角形的性质-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

浅探垂足三角形的性质 ■王均槐 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形 称为垂足三角形,垂足三角形和原三角形之 间存在很多特殊的数学关系,下面我们就来 浅探其中之一二。 图1 一、构建垂足三角形 如图1所示,△ABC 是锐角三角形,AD、BE、 CF 是三角形的三条高, 三条高相交于点H,连接 DE、EF、FD,△DEF 构 成垂足三角形。 二、垂足三角形的基本性质 性质1:垂足三角形DEF 中的角度满足 ∠EDF=180°-2A,∠FED=180°-2B, ∠DEF=180°-2C。 证明:因为B、D、H、F 四点共圆,所以 ∠HDF=∠FBE=90°-A,因为C、D、H、 E 四点共圆,所以∠HDE=∠ECF=90°- A,所 以 ∠EDF = ∠HDF + ∠HDE = 180°-2A。同 理 知 ∠FED =180°-2B, ∠DFE=180°-2C。 图2 例如,如图2所 示,已知AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三 条高,求证:AD、BE、 CF是垂足△DEF的 三条角平分线。 证明:设垂心为O。因O、F、B、D 四点共 圆,所以∠1=∠4。因O、D、C、E 四点共圆, 所以∠2=∠3。又因B、F、E、C 四点共圆,所 以∠1=∠3。从而可知∠2=∠4。所以 AD 是△DEF 中∠EDF 的平分线。同理可证: BE、CF 分别是∠DEF 和∠DFE 的平分线。 性质2:垂足三角形 DEF 的边长满足 EF=BCcosA,FD=ACcosB,DE=ABcosC。 证明:如 图 2 所 示,因 为 ∠ECF = ∠EBF,所以E、G、B、F 四点共圆,故AE∶ AB=EF∶BC,又 AE AB=cosA ,所以 EF= AE AB · BC = BCcosA。 同 理 知 FD = ACcosB,DE=ABcosC。 性质3:设三角形ABC 外接圆的半径为 R,则垂足三角形DEF 的周长为4RsinA· sinBsinC。 证明:如图1,由垂足三角形的边长关系 得△DEF 的周长l=BCcosA+ACcosB+ ABcosC=2RsinAcosA+2RsinBcosB+ 2RsinCcosC=R(sin2A+sin2B+sin2C), 因sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)· cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A- B)-2sinCcos(A+B)=2sinC[cos(A- B)-cos(A+B)]=4sinCsinBsinA,所以 l=4RsinAsinBsinC。 性质4:垂足三角形的面积 S△DEF=± 2S△ABCcosAcosBcosC(负号表示△ABC 为 钝角三角形的情形)。 图3 证明:如图3所示,设 ☉O是锐角△ABC的外接 圆,作直径AG,连接BG、 CG,则 S△ABC = 1 2AB · ACsinA, 在 ☉O 中, ∠AGB = ∠ACB,所 以 AB=2Rsin∠ACB,同理 AC=2Rsin∠ABC, 故得S△ABC=2R2sinAsinBsinC。由垂足三角 形DEF的边长关系知,S△DEF= 1 2ED ·FD· sin ∠EDF = 1 2 AB cosC · ACcosB · sin(180°-2A)= 1 2AC ·AB·cosBcosC· sin2A=AC·AB·sinA(cosAcosBcosC)= 2RsinB2RsinCsinA(cosAcosBcosC)=2· (2R2sinAsinBsinC)cosAcosBcosC = 2S△ABCcosAcosBcosC。若∠A是钝角,则S△DEF= -2S△ABCcosAcosBcosC。 作者单位:江西省兴国县第七中学 7 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年2月 $$