5.基于类比思维的高中数学解题方法研究-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

基于类比思维的高中数学解题方法研究 ■黄 垚 类比思想是高中数学解题中比较重要的 一种逻辑思维方式,其主要是对相似的事物 进行类比,找到事物中存在的规律、方法。将 类比思维应用到高中数学解题中,可以在极 大程度上帮助同学们简化题目,提高解题 效率。 1.类比思维在数列问题中的应用 由于等差数列、等比数列之间存在一定 的关联性,所以同学们在遇到数列问题时,可 以从类比的角度入手,通过类比来解决相应 的问题。 例1 设数列{an}、{bn}均属于无穷数 列,如果数列{an}、{bn}都是等比数列,对两 个数列进行某种运算,可以得出新数列{an+ bn}、{anbn},假设这两个新数列也是等比数 列,试着结合等差数列提出相关命题,写出等 差数列的前n 项和公式,并用含有首项和公 差的方式表示。 解:设数列{an+bn}是等差数列,则公差 为d1+d2,那么此数列的前n 项和公式是 Sn=(a1+b1)·n+ n(n-1)(d1+d2) 2 。 (1)如果d1、d2 中最少有一个是0,那么 数列{anbn}也是等差数列。其中,若d1=0, 则Sn=a1b1n+n(n-1)· a1d2 2 ;若d2=0, 则Sn=a1b1n+n(n-1)· b1d1 2 。 (2)如果d1、d2 均为0,那么数列{anbn} 不为等差数列。 2.类比思维在平面几何与立体几何问题 中的应用 高中数学解题中,还可以在平面几何与 立体几何问题中应用类比思维,如平面三角 形的等面积到空间四面体的等体积,平面向 量到空间向量,平面中的直线方程到空间中 的平面方程的类比等,以此促进同学们数学 知识体系的建立。 图1 例2 如 图1 所 示,ABC-A1B1C1 是一个斜三棱柱,其 中 P 点是 该 斜 三 棱柱 的 棱 BB1 上 的任意一个点,过 P 点作PM、PN 分别与AA1、CC1 垂直,并 连接 MN。现有一个△DEF,如果 DE2= DF2+EF2-2·DF·EF·cos∠DFE,将 该公式拓展到空间图形中,并对平面三角形 余弦定 理 进 行 类 比,推 测 斜 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 的三个侧面积与其中两个侧面形成 的二面角之间的关系式。 解:由 于 ∠PNM 是 平 面 ACC1A1 与 BCC1B1 形成的二面角,可以证明在△PMN 中存在余弦定理PM2=MN2+PN2-2· MN·PN·cos∠PNM。由于PM⊥AA1, PN⊥CC1,CC1⊥MN,可 以 得 出(CC1· PM)2=(CC1·MN)2+(CC1·PN)2-2· (CC1·MN)·(CC1·PN)·cos∠PNM。 3.类比思维在函数问题中的应用 通常在解决等差数列问题时,应用类比 思维可以促进同学们解题能力的提高。 例3 设f(x)= 1 2x+ 2 ,求f(-5)+ f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的 值。 解:设x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)= 1 2x1+ 2 + 1 2x2+ 2 = 22+(2x1+2x2) 2(2x1+2x2+22) = 1 2 = 2 2 ,因此f(-5)+f(-4)+f(-3)+ …+f(0)+…+f(5)+f(6)=[f(-5)+ f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(0)+ f(1)]=6× 2 2=32 。 作者单位:福建省厦门外国语学校 9 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年2月 $$