6.巧记结论灵活处理抽象函数的对称性、奇偶性及周期性的相关问题-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

巧记结论灵活处理抽象函数的 对称性、奇偶性及周期性的相关问题 ■闫婧梅 不管是高一初学函数者,还是久经沙场 的高三学生,解答有关函数性质的题目时都 有较大困难。本文将从函数的奇偶性、对称 性、周期性角度来研究抽象函数,希望对同学 们的解题能有些帮助。 例1 (2018年全国Ⅱ卷理科数学第11 题)已知函数f(x)是定义域为(-∞,+∞) 的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(50)= 。 分析:由f(x)是奇函数得函数的图像关 于点(0,0)对称,由f(1-x)=f(1+x)得函 数的图像关于直线x=1对称,进而可得函数 具有周期性,且4为函数的一个周期,再接着 求出f(1),f(2),f(3),f(4),即可得出答 案。同学们会做本题的前提需要明确函数的 奇偶性、对称性、周期性之间的准确量化关 系。 一、关于抽象函数的题干必须区分清楚 以下三个抽象函数方程的不同 ①同周期:f(x+a)=f(x+b); ②异同轴:f(x+a)=f(-x+b); ③异异点:f(x+a)=-f(-x+b)。 注意:“同”指x 与f 的系数,①中x 与f 的系数相同,则具有周期,周期为T=|a-b|; ②中x的系数相反,f的系数相同,则具有轴对 称,对称轴为x= a+b 2 ;③中x与f的系数均相 反,则具有点对称性,对称中心为 a+b 2 ,0( )。 二、周期性 定义:对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得定义域内的任意一个x,都有 f(x+T)=f(x),则函数f(x)叫周期函数, 非零常数T 叫这个函数的周期。 例2 (2016年山东卷文科第9题)已知 函数f(x)的 定 义 域 为 R,当 x<0 时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)= -f(x);当 x > 1 2 时,f x+ 1 2( ) = f x- 1 2( )。求f(6)。 分 析:由 f x+ 1 2( ) =f x- 1 2( ) 得 f(x+1)=f(x),由周期函数的定义得x> 1 2 时周期为1,进而f(6)=f(1)。 推论1:f(x+a)=f(x-a),则f(x)的 周期T=2|a|。 推论2:f(x+a)=f(x-b)(a≠b),则 f(x)的周期T=|a-b|。 推论3:f(x+a)=-f(x),则f(x)的 周期T=2|a|。 推论4:f(x+a)=± 1 f(x) ,则f(x)的 周期T=2|a|。 三、对称性⇒周期性 结论1:对于y=f(x),x∈R,如果f(x) 的图像同时关于点M(m,0),N(n,0)均对 称,m,n∈R且m≠n,则f(x)为周期函数, 且2|m-n|为y=f(x)的一个周期。 证明:因 为 f(x)的 图 像 同 时 关 于 点 M(m,0),N(n,0)均对称,所以f(x+m)与 f(x+n)为奇函数。所以f(-x+m)= -f(x+m),f(-x+n)=-f(x+n)。所 以-f(-x+2m)=f(x),-f(-x+2n)= f(x),所以f(-x+2m)=f(-x+2n),即 f(x+2m)=f(x+2n)。故T=2|m-n|。 巧记:类比三角函数。y=sinx 关于点 M(m,0),N(n,0)对称,则T=2|m-n|。 结论2:对于y=f(x),x∈R,如果f(x) 的图像同时关于直线x=m,x=n 均对称, m,n∈R且 m≠n,则f(x)为周期函数,且 2|m-n|为y=f(x)的一个周期。 证明:因为f(x)的图像同时关于直线 x=m,x=n均 对 称,所 以f(x+m)与 01 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年2月 $$