内容正文:
f(x+n)为 偶 函 数,所 以 f(-x+m)=
f(x+m),f(-x+n)=f(x+n)。所以
f(-x+2m)=f(x),f(-x+2n)=f(x),
所以f(-x+2m)=f(-x+2n),即f(x+
2m)=f(x+2n)。故T=2|m-n|。
巧记:类比三角函数。y=sinx 关于直
线x=m,x=n均对称,则T=2|m-n|。
结论3:对于y=f(x),x∈R,如果f(x)
的图像同时关于直线x=m 和点N(n,0)均
对称,m,n∈R且 m≠n,则f(x)为周期函
数,且4|m-n|为y=f(x)的一个周期。
证明:因为f(x)的图像同时关于直线
x=m 和点N(n,0)均对称,所以f(x+m)
为偶函数,f(x+n)为奇函数,所以f(-x+
m)=f(x+m),f(-x+n)=-f(x+n)。
所以f(-x+2m)=f(x),-f(-x+2n)=
f(x),所以f(-x+2m)=-f(-x+2n),
即f(x+2m)=-f(x+2n),所以f(x)=
-f(x+2n-2m),即f(x)=f(x+4n-
4m)。故T=4|m-n|。
巧记:类比三角函数。y=sinx 关于点
M(m,0)和直线x=n均对称,则T=4|m-n|。
四、利用上述结论快速解决函数奇偶性、
周期性与对称性结合的小题
练习1:设函数y=f(x)(x∈R)的图像
关于直线x=0及直线x=2均对称,且x∈
(3,6)时,f(x)=x2+1,则f(17)= 。
变式1:设函数y=f(x)(x∈R)满足
f(x)=f(-x)且f(x+4)=f(-x),当x∈(3,
6)时,f(x)=x2+1,则f(17)= 。
练习2:设函数y=f(x)(x∈R)的图像
关于原点与(2,0)对称,且 x∈(3,6)时,
f(x)=x2+1,则f(17)= 。
变式2:设函数y=f(x)(x∈R)满足
-f(x)=f(-x),且f(x+4)=-f(-x),
当x∈(3,6)时,f(x)=x2+1,则f(17)=
。
作者单位:山西省吕梁市离石区江阴高级中学
谈数列求和的多种解题方法
■闫国峰
《普通高中数学课程标准(2017年版)》
把数列这部分内容编入选择性必修课程,主
题一函数的第一单元就是数列,其内容要求
之一是“能运用等差数列、等比数列解决简单
的实际问题和数学问题,感受数学模型的现
实意义与应用”。可见数列对同学们的数学
建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养的
培养起着重要的作用。
一、善于思考,探寻更多解题方式
我们已经学习了等差数列和等比数列,
对于数列求和,我们都知道哪些公式或方法
呢? 当然是用等差数列和等比数列的前n项
和公式求和。比如:(1)已知等差数列{an}
中,a1+a2=3,a2+a4=6,求 an 和Sn。
(2)已知等比数列{bn}中,b1=2,b4=16,求
an 和Sn。这是简单的等差数列和等比数列
的求通项和前n 项和问题,可以先根据题意
设出等差数列的公差和等比数列的公比,然
后联立方程,通过解方程组进行求解。然而,
对于一些既非等差数列又非等比数列的数
列,我们又该如何去求和呢?
二、一题多变,提高数学学科素养
变式1:已知数列{an}是等差数列,数列
{bn}是等比数列,且a1+a2=3,a2+a4=6,
b1=2,b4=16。
(1)若cn=an+bn,求数列{cn}的前n项
和Sn。
(2)若dn=(-1)n·an,求数列{dn}的
前n项和Tn。
分析:本题完全是在引例的基础上进行
变式,由于有了引例的铺垫,同学们完全可以
通过自主探究、合作学习,发现这个数列的特
点,从而把新问题转化为熟悉的等差或等比
数列求和。
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等
比 数 列 {bn}的 公 比 为 q,由 题 意 可 知
11
基础数学 尝试创新
自主招生 2020年2月
2a1+d=3,
2a1+4d=6,{ 解得a1=1,d=1,所以an=
1+(n-1)=n。由
b1=2,
b1·q3=16,{ 得q=2,所
以bn=2×2n-1=2n。所以cn=an+bn=n+
2n。Sn=c1+c2+c3+…+cn=(1+21)+
(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)=(1+2+
3+… +n)+(21+22+23+ … +2n)=
n(1+n)
2 +
2(1-2n)
1-2 =
n
2+
n2
2+2
n+1-2。
(2)由(1)知,an=n,所以dn=(-1)n·n。
当n为偶数时,T