8.例谈未知角三角函数值的求解策略-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

例谈未知角三角函数值的求解策略 ■王瑞金 求解未知角的三角函数值可以从两个方 面入手,一是从角本身出发,利用三角函数关 系列出方程求解;二是寻找未知角与已知角 的关系,先利用已知角将未知角表示出来,再 利用三角函数运算公式展开并整体代换求 解。下面通过对例题的剖析,总结求解此类 问题的步骤,希望对同学们的学习能有所 帮助。 例 1 已 知 sin α+ π 3( ) = 3 5 ,α ∈ - π 2 ,π 6( ),求sinα。 解析:已知的角为α+ π 3 ,而所求角α= α+ π 3( )- π 3 ,故可以考虑sinα=sin α+(é ë êê π 3 )- π 3 ]=sinα+ π 3( )cos π 3-cosα+ π 3( )· sin π 3 。 因 为 α∈ - π 2 ,π 6( ),所 以 α+ π 3 ∈ - π 6 ,π 2( ),而sinα+ π 3( )= 3 5 ,故α+ π 3 在 第 一 象 限,所 以 cosα+ π 3( ) = 4 5 。所 以 sinα= 1 2 ·3 5- 3 2 ·4 5= 3-43 10 。 点评:本题先利用已知角表示未知角,然 后用已知角整体代换求解。需要注意的是在 求已知角其他的三角函数值时,要确定已知 角的范围,进而确定其他三角函数值的符号。 确定角的范围有四个层次,一是通过不等式 的性质解出该角的范围,例如α∈ π4 ,π 3( ) , 则α+ π 6∈ 5π 12 ,π 2( ) ;二是通过该角的三角函 数值的符号,确定其所在象限;三是利用特殊 角将该角圈在一个区间内(区间长度通常为 π 4 );四是通过题目中的隐含条件判断角的范 围,例如sinα+cosα= 6 5 ,则可判断出α 在 第一象限。 例 2 已 知 0<β< π 4 <α< 3π 4 , cosπ4-α( ) = 3 5 ,sin 3π4+β( ) = 5 13 ,求 sinα+β( ) 的值。 解析:α+β= 3π 4+β- π 4-α( )- π 2 ,所以 sinα+β( ) = sin 3π 4+β- π 4-α( )- π 2( ) = -cos3π4+β- π 4-α( )( )=- cos 3π 4+β( )·[ cosπ4-α( )+sin 3π 4+β( )sin π 4-α( ) ]。 因 为0<β< π 4<α< 3π 4 ,所以- π 2< π 4-α<0 , 3π 4<β+ 3π 4<π 。所以sin π4-α( )=- 4 5 , cos 3π4+β( ) = - 12 13 。所 以 sin α+β( ) = - - 12 13 ·3 5- 4 5 ·5 13( )= 56 65 。 点评:本题中已经知道两个角的范围,需 要先确定两个角的和角的范围,再根据已知 条件和不等式性质求解两个角的和角的三角 函数值。 总结:求解未知角三角函数值的步骤:先 考虑用已知角表示未知角,如需要可利用常 用角进行搭配;再在等号两边同取所求三角 函数,并用三角函数和差公式展开;然后利用 已知角所在象限和三角函数值求出此角的其 他函数值;最后将结果整体代入到运算式中 求得最终结果。 作者单位:江苏省阜宁第一高级中学 31 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年2月 $$