9.例析概率中的两个基本概型-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

例析概率中的两个基本概型 ■王红利 等可能事件的概率和独立重复试验的概率 是概率论中的两个基本概型,即古典概型和贝 努里概型,这两个基本概型有着广泛的应用。 同学们在学习中,由于对概念理解不透、模糊不 清,在解题过程中易产生混淆,出现错误。 一、误将等可能事件当成独立重复试验 例1 某人有五把钥匙,其中有两把房门钥 匙,但忘记了开门的是哪两把,只好逐把试开, 则此人三次内能打开房门的概率是( )。 A.1- A33 A35 B.1- 35( ) 2 C. A23A12 A35 + A13A12 A25 D.C23 3 5( ) 2 2 5( )+C 1 3 3 5( ) 2 5( ) 2 错解:选D。 错误的原因是由于认为有五把钥匙,其 中有两把房门钥匙,打开房门的概率为2 5 ,三 次能打开房门构成3种贝努里概型,而忽略 了逐把试开条件,造成错误。正由于是逐把 试开,不放回,第一次试开打开房门的概率是 2 5 ,打不开的概率是3 5 ,接着第二次试开打开 房门的概率是 2 4 ,打不开的概率是2 4 ,发生的 可能性变了,不是第一次的重复。而贝努里 概型要求,一次试验是一个简单试验(要么事 件A 发生,要么A 不发生)重复n 次。但该 试验中每次试验事件发生的概率是一样的, 故不是贝努里概型。而实际上,由于是逐把 试开,试开三次的所有情况共有 A35 种,是等 可能的,构成古典概型,应先按等可能事件的 概率计算,再利用对立事件计算求结果。 正解:试开三次的所有情况共有 A35 种, 没有打开的情况有 A33,根据对立事件的概 率,则有可能打开的概率为1- A33 A35 ,故应选 A。或按第一、二、三次打开情况分类计算得 A12 A15 + A13A12 A25 + A23A12 A35 =1- A33 A35 。 二、误将独立重复试验当成等可能事件 例2 某人有两盒火柴,每盒都有n 根 火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒,并 从中抽出一根,求他用完一盒时另一盒还有 r根火柴(1≤r≤n)的概率。 错解:注意到每盒火柴中抽取一根的概率 是相同的,又由于从2n根火柴中抽取,用完一 盒另一盒还有r根,需要抽取2n-r次。问题 就转化为从2n根火柴中抽取2n-r根,其中某 一盒中恰好抽了n根,求其发生的概率。可将 一盒中的火柴看成特殊火柴,问题就等价于有 2n根火柴,其中有n 根特殊火柴,从中抽取 2n-r根,求n根特殊火柴恰好抽出的概率。而 该问题是典型的等可能事件的概率,共有C2n-r2n 种可能结果,抽出n根特殊火柴共有2CnnCn-rn 种 情况,依据古典概型知其概率为2C n nCrn C2n-r2n 。 错误的原因是没有注意条件“在两盒中任 取一盒,并从中抽出一根”,即先选盒,再抽一根 火柴,有盒的限制。这与将两盒看成一盒2n根 火柴抽取一根不是等价的(没有盒的限制),导 致将贝努里概型当成古典概型。事实上由于是 先选盒,再抽一根火柴,故抽一根火柴等同于在 两盒中选。设选取其中一盒为事件A,则选另 一盒为事件A,抽一根火柴等同于(要么事件A 发生,要么A发生)一次简单试验,共需重复2n -r次简单试验(由于用完一盒时另一盒还有r 根火柴,需抽取2n-r次),形成2n-r种贝努 里概型,不是古典概型,应按贝努里概型计算。 正解:设选取其中一盒抽取一根为事件 A,则选另一盒抽取一根为事件A,构成2n- r种贝努里概型。“他用完一盒时另一盒还 有r根火柴”的问题转化为“在2n-r种贝努 里概型中,求A 或A恰好发生n 次的概率”, 依贝努里概型计算公式知其概率为2Cn2n-r· 1 2( ) n 1 2( ) n-r =Cn2n-r 1 2( ) 2n-r+1 。 作者单位:甘肃省天水市第二中学 41 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年2月 $$