10.圆锥曲线中直线过定点问题探析-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

圆锥曲线中直线过定点问题探析 ■厉伟星 纵观高考试卷解答题的出题类型,圆锥 曲线中直线过定点问题的出题方式一般存在 两种形式:一是给出定点,让学生证明动直线 经过该点;二是不给出定点,让学生解出动直 线所经过的某一点。这两种问题对于很多学 生而言,在解答时都存在着一定的难度,如果 稍有疏忽,就会造成解题错误,从而导致失 分。基于此,本文就来详细分析一下这两种 类型问题的解题方式,以飨读者。 一、给出动直线所过定点问题的解题分析 例1 已知抛物线y=x2,M 点的坐标 为(x0,y0),P 点的坐标为(0,y0),N 点的坐 标为(-x0,y0),其中y0≠x20,y0>0,过点 M 的一条直线与抛物线相交于A、B 两点,AP 和BP 的延长线分别与抛物线C 相交于E、F 两点,试证明:直线EF 过点N。 证明:假设点A 的坐标为(x1,x21),点B 的坐标为(x2,x22),点E 的坐标为(xE,yE), 点F 的坐标为(xF,yF),则直线AB 的方程 应该是y= x21-x22 x1-x2 (x-x1)+x21,即 y= (x1+x2)x-x1x2,因为点 M(x0,y0)在直线 AB 上,所以y0=(x1+x2)x0-x1x2 ①。 又因为直线AP 的方程为y= x21-y0 x1 x+y0 , 由 y= x21-y0 x1 x+y0 , x2=y, { 可以得出x2-x 2 1-y0 x1 x-y0=0,所以x1+xE= x21-y0 x1 ,可得xE= y0 x1 ,yE= y20 x21 。同理,可以得出xF= y0 x2 ,yF= y20 x22 。因 此,直 线 EF 的 方 程 为 y = - x1+x2x1x2( )y0x- y20 x22 。假 设 x=-x0,可 以得出y= y0 x1x2 (x1+x2)x0-y0[ ],将① 式代入其中,可以得出y=y0,即点N 在直 线EF 上,也就是说直线 EF 过圆锥 曲 线 的定点 N。 二、未给出动直线所过定点问题的解题 分析 图1 例2 如图1,已知 椭圆C: x2 a2+ y2 b2=1 ,且 ɑ>b>0,经过点(0,1), 其离心率e= 3 2 。 (1)求椭圆C 的方 程。 (2)过点(1,0)的直线与椭圆C相交于A、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为A'。试问 当m 发生变化时,直线A'B是否过定点。如果 经过定点,请写出定点的坐标,并进行证明;如 果不经过定点,请说明理由。 解析:(1)由 题 意 得 b=1, c a= 3 2 , a2=b2+c2, ì î í ï ïï ï ï 解 得 ɑ=2,b=1。所以椭圆C 的方程为 x2 4+y 2= 1。 (2)假设直线 AB 的方程为x=my+1 (m≠0),由 x2 4+y 2=1, x=my+1, { 可得(my+1)2+ 4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0。设点A 的坐标为(x1,y1),点B 的坐标为(x2,y2), 则点A'的坐标为(x1,-y1),且y1+y2= - 2m m2+4 ,y1y2=- 3 m2+4 。由椭圆的对称性 可得如果直线A'B 经过定点,那么定点必定 在x 轴上。令x1=0,y1=-1,则 m=1, y2= 3 5 ,此时,点A'的坐标为(0,1),点B 的坐 标为 8 5 ,3 5( ),直线A'B 的方程为x+4y-4= 0,此时,该直线与x轴的交点为点S,其坐标为 (4,0)。因此,如果直线A'B与x 轴相交有一个 定点,那么定点只能是点S(4,0)。 作者单位:浙江省湖州市安吉县孝丰高级中学 51 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年2月 $$