11.例析概率的基本性质-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

例析概率的基本性质 ■代 勇 考点分析:了解包含关系、相等关系、交 事件、并事件、互斥与对立事件;掌握概率的 加法公式,能熟练运算对立事件的概率公式。 例1 在掷骰子的试验中,可以定义许 多事件,例如,C1={出现1点},C2={出现2 点},C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出 现的点数不大于1},D2={出现的点数大于 3},D3={出现的点数小于5},E={出现的 点数小于7},F={出现的点数为偶数},G= {出现的点数为奇数}。请根据上述定义的事 件回答下列问题。 (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件; (2)利用和事件的定义,判断上述哪些事 件是和事件。 解析:(1)因为事件C1,C2,C3,C4 发生, 则事件 D3 必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3, C3⊆D3,C4⊆D3。同理可得,事件E 包含事 件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件 D2 包含事件 C4,C5,C6;事件F 包含事件C2,C4,C6;事件 G 包含事件C1,C3,C5。又易知事件C1 与事 件D1 相等,即C1=D1。 (2)因为D2={出现的点数大于3}={出 现4点数或出现5点或出现6点},所以D2= C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6)。同理可 得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+ C3+C4+C5+C6=D3+C5+C6,F=C2+ C4+C6,G=C1+C3+C5。 例2 判断下列各事件是不是互斥事件,并 说明理由。某小组有3名男生和2名女生,从 中任选2名同学参加演讲比赛,其中: (1)恰有1名男生和恰有2名男生; (2)只有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是男生; (4)至少有1名男生和全是女生。 解析:(1)是互斥事件。理由是:在所选 的2名同学中“恰有1名男生”,实质是选出 “1名男生、1名女生”,它与“恰有2名男生” 不可能同时发生,所以是一对互斥事件。 (2)不是互斥事件。理由是:“至少有1 名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都 是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1 名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结 果,它们可能同时发生。 (3)不是互斥事件。理由是:“至少有1 名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都 是男生”,这与“全是男生”可能同时发生。 (4)是互斥事件,理由是:“至少有1名男 生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男 生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时 发生。 点评:判断事件间的关系时,一定要考虑 试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互 斥、对立,其发生的前提条件都是一样的。 例3 某县城有甲、乙两种报纸供居民 订阅,记事件A 为“只订甲报”,事件B 为“至 少订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报 纸”,事件D 为“不订甲报”,事件E 为“一种 报纸也不订”,判断下列事件是不是互斥事 件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)A 与C; (2)B 与E; (3)B 与D; (4)B 与C; (5)C 与E。 解析:(1)由于事件C“至多订一种报纸” 中包括“只订甲报”,即事件A 与事件C 有可 能同时发生,故A 与C 不是互斥事件。 (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与E 是互斥事件;由于事件B 发生会导致 事件E 一定不发生,且事件E 发生会导致事 件B 一定不发生,故B 与E 还是对立事件。 (下转第27页) 61 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年2月 $$