12.积(幂)问题“对数化”处理方法举例-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

积(幂)问题“对数化”处理方法举例 ■庞嘉来(指导教师:徐双芬) 解法初探:计算n个正数a1,a2,…,an 的 积M=a1a2·…·an 的结果是很麻烦的,若将 等式两边取以b(b>0且b≠1)为底数的对数, 则变成logb M=logba1+logba2+…+logban, 这样就将一个积的运算转化为和的运算,使运 算得以简化。例如,已知正数等比数列{an},令 bn=logcan,c>0且c≠1,则数列{bn}就是等差 数列。这种对“积(幂)的形式”进行“对数化”处 理的方法是一个重要的解题手段。 一、应用于an+1=pamn 型递推关系数列 例1 已知数列{an}的各项都是正数, 且满足a1=2,an+1=2a2n(n∈N*),求数列 {an}的通项公式an。 思路分析:求形如an+1=pamn(其中常数 p>0,且a1>0,m 是正的自然数)数列的通 项公式时,可对等号两边取对数,得lgan+1= lgp+mlgan,则数列{lgan}符合“an+1=Aan+ D”型递推数列形式,进而得出通项公式。 解:由an+1=2a2n(n∈N*),得lgan+1= lg2+2lgan,把lgan 看成项,则lgan+1+ lg2=2(lgan+lg2),说明数列{lgan+lg2} 是以lga1+lg2为首项、2为公比的等比数 列,因此lgan+lg2=2n-1(lga1+lg2)= 2nlg2,即an=22 n-1。 二、应用于an+1·an=f(n)型递推关系 数列 例2 在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数 列{an}的前n项和Sn 满足nSn+1-(n+3)Sn= 0,2an+1为bn 与bn+1的等比中项,n∈N*。 (1)求a2,b2 的值。 (2)求数列{an}与{bn}的通项公式。 (3)设Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+ (-1)anbn,n∈N*,证明:|Tn|<2n2,n≥3。 思路分析:对于an+1·an=f(n)(其中 f(n)>0,且a1>0)型递推公式的数列,通常 可以考虑将其两边取对数,得到lgan+1= -lgan+lgf(n),则 数 列{lgan}也 符 合 “an+1=Aan+D”型数列形式,进而求解。 解:(1)a2=3,b2=9。 (2)由条件得 an n(n+1)= an+1 (n+1)(n+2)= a2 1·2= 常数,从而an= n(n+1) 2 。又有bnbn+1= 4a2n+1=(n+1)2(n+2)2,则bn>0,两边取对数 得lgbn+1+lgbn=2lg(n+1)+2lg(n+2),即 lgbn+1-2lg(n+2)=-[lgbn-2lg(n+1)],由 lgb1-2lg2=0,知数列{lgbn-2lg(n+1)}是为 0的常数数列,即bn=(n+1)2。 (3)根据an= n(n+1) 2 这一数的奇偶性 规律,得Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+ (-1)anbn=-22-32+…+(-1) n(n+1) 2 (n+ 1)2。根据式子形式可知,需要对整数集合分 成四类 讨 论。当 n=4k,k∈N* 时,Tn = -22-32+42+52-…-(4k-2)2-(4k- 1)2+(4k)2+(4k+1)2=32×(1+2+…+ k)-4k=32× k(k+1) 2 -4k=4k (4k+4)- 4k=(4k)2+3×4k=n2+3n。当n=4k-1, k∈N*时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+1)2= (n+1)2+3(n+1)2-(n+2)2=n。当n= 4k-2,k∈N* 时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+ 1)2-(4k)2=3(n+2)-(n+3)3=-n2-3n- 3。当n=4k-3,k∈N*时,Tn=3×4k-(4k+ 1)2+(4k-1)2=3(n+3)-(n+4)2+(n+2)2= -n-3。所以当n≥3时,有: |Tn| n2 = 1 n+ 3 n2<2 ,n=5,9,13,…, 1+ 3 n+ 3 n2<2 ,n=6,10,14,…, 1 n<2 ,n=3,7,11,…, 1+ 3 n<2 ,n=4,8,12,…。 ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ïï 总之,当n≥3时,有 |Tn| n2 <2 ,即|Tn|<2n2。 小结:求解涉及连续的多重乘积或幂运 算的综合性问题时,采用“对数化”处理可以 将运算简化,达到顺利求解的目的。 作者单位:浙江省天台育青中学高二(3)班 71 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年2月 $$