13.高中函数学习中常见错误归类及其分析-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

高中函数学习中常见错误归类及其分析 ■张家硕 在高中函数的学习过程中,同学们应在 老师的引导下,逐步进行函数的定义、性质、 表达式、应用题等方面的学习,并对错误类型 习题进行归类与分析,这样才能学好函数知 识,并掌握相关解题方法。 1.高中数学中常见的函数难题、错误问 题 高中函数包括一次函数、多次函数、反比 例函数、指数函数、对数函数、三角函数等类 型,不同函数有着不同的性质。通过对以往 高考真题进行分析与总结,可以得出高中函 数主要存在求导、求值域、求单调性、求奇偶 性、求零点或最值等难点。例如,在高中函数 导数问题的求解过程中,同学们往往会对复 合函数的定义域、单调性作出错误判断,部分 同学没有分情况,对函数多次项系数、定义域 取值范围进行分段求解,从而导致一般函数、 不等式函数的解答出现错误。 2.高中函数学习中常见错误归类及分析 (1)概念理解错误。部分同学在学习高 中函数知识的过程中,往往会更加着重于函 数公式、函数图像的学习与记忆。而在面临 具体的函数应用题时,则会出现题目重要信 息理解错误,不能依据题中给出的已知条件、 隐含条件对相应题目作出解释与回答。 例如,求函数y=ln(x+ x2+1)的反 函数。 分析:对于这一问题的解答,一些同学在 没有看清已知条件、题目要求的情况下,直接 将未知数x、y 的位置进行对调,得出x= ln(y+ y2+1)。殊不知这一求解方式是错 误的。 解:首先应对y=ln(x+ x2+1)进行 变形,得到x+ x2+1=ey,再整理为x= ey-e-y 2 ,最终求得反函数为y= ex-e-x 2 。 (2)性质掌握错误。在对于复合函数、三 角函数的单调性进行求解的过程中,一些同 学会对函数的定义域、取值范围等界定不清, 这就导致他们对函数图像的绘制、单调区间 的解答出现错误。 例如,函数y=log0.5(4+3x-x2)的单调 递增区间为 。 分析:部分同学对复合函数的单调性法 则识记不牢,且忽视函数定义域、内层函数图 像问题,导致在具体求解过程中出现错误。 由于该函数的外层函数单调递减,而且内层 函数u=4+3x-x2 的 单 调 递 减 区 间 为 3 2 ,+∞[ ),因此得到错误的答案———原函数 的单调递增区间为 3 2 ,+∞[ )。 解:在该复合函数公式中,外层函数为单 调递减函数,内层函数u=4+3x-x2>0,所 以内层函数的定义域为(-1,4),内层函数在 -1, 3 2( ] 内单 调 递 增,在 3 2 ,4[ ) 内 单 调 递 减,因此原函数在 3 2 ,4[ ) 内为增区间。 (3)应用题型错误。高一学生在刚刚学 习高中函数时,较少接触到函数综合性的应 用题型,所以对于应用题的求解方法过于简 单粗暴,或者即使选择了正确的解题方式,但 由于函数求导、定义域问题理解的错误,而出 现求解结果的错误。 例如,函数f(x)=(m-1)x2+2(m+ 1)x-1的图像与坐标轴只存在一个交点,求 m 的取值范围。 分析:部分同学忽视对函数中二次项系 数的讨论,缺乏分类讨论的意识,没有考虑 m-1=0的情况,只是根据Δ=b2-4ac=0, 求得m=0或m=-3。 解:当m-1=0时,函数f(x)与坐标轴 只存在一个交点;当m-1≠0时,由Δ=0得 到m=0或m=-3。因此m 的取值范围为 {-3,0,1}。 作者单位:河南省驻马店高中702班 81 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年2月 $$