14.巧用直线系方程妙解几何问题-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

巧用直线系方程,妙解几何问题 ■苗馨予 带有参数的直线方程我们可称之为直线 系,巧用直线系的相关知识解决直线与圆有 关的试题,有时会使问题得到简化,起到事半 功倍的效果。下面我们就举例来说明。 一、平行直线系 例1 设直线y=2x+a与圆(x-1)2+ (y-2)2=4有两个不同的交点A、B,求a的 取值范围。 分析:平行直线系指与l1:Ax+By+ C1=0平行的直线,可设为Ax+By+C2= 0。解答本题时,只有当直线与圆相交时,直 线与圆才有两个交点。故考虑联立两个方程 求其Δ>0,可以求出a的范围;或者考虑Δ= 0,求出a的两个临界值。由于y=2x+a是 斜率为2并且在y 轴上的截距为a 的直线 系,所以a的取值范围在这两个临界值之间。 解:因为 y=2x+a, (x-1)2+(y-2)2=4,{ 所以5x 2+ (4a-10)x+(a-2)2-3=0。令Δ=-4a2+ 80=0,得a=±25,故-25<a<25。 二、定点直线系 例2 已知圆C:(x+1)2+(y-2)2= 25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4= 0,m∈R。 (1)求证:不论m 取什么值,直线l与圆 C 恒交于两点。 (2)求直线l被圆C 截得的线段的最短 长度及此时直线l的方程。 分析:若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+ B2y+C2=0有交点,则过l1 与l2 交点的直线 系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0(其中λ为待定常数,不包括l2),设出方 程后再利用其他条件求解。解答本题时,若直 线上的一个定点在圆内,那么直线与圆必然有 两个交点,求直线方程必须确定m 的值。 解:(1)因为直线l:(2m+1)x+(m+1)· y-7m-4=0⇒(2x+y-7)m+x+y-4= 0,所 以 此 直 线 为 定 点 直 线 系。因 为 直 线 (2x+y-7)m+x+y-4=0所过的定点可 由 2x+y-7=0, x+y-4=0{ ⇒ x=3, y=1。{ 又 (3+1) 2 + (1-2)2<25,所以点(3,1)在圆内。所以不 论m 取什么值,直线l与圆C 恒交于两点。 (2)因为直线l被圆C 截得的线段最短, 又定点(3,1)与圆心(-1,2)构成的直线的斜 率为- 1 4 ,故 所 求 直 线 的 斜 率 为 4,所 以 - 2m+1 m+1=4 ,所以m=- 5 6 。所以直线l的 方程为4x-y-11=0,此时弦长为45。 三、垂直直线系 例3 矩形ABCD 的两条对角线相交于 点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为x- 3y-6=0,点T(-1,1)在AD 边所在直线上。 (1)求AD 边所在直线的方程。 (2)求矩形ABCD 外接圆的方程。 分析:与直线 Ax+By+C1=0垂直的 直线可设为Bx-Ay+C2=0,这里用到了两 直线垂直的性质,利用这一点我们可以直接 设出直线AD 的方程。 解:(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且AD 与AB 垂直,所以令直 线AD 的方程为3x+y+a=0。又因为点 T(-1,1)在直线AD 上,将(-1,1)代入AD 的方程,得a=2,即直线AD 的方程为3x+ y+2=0。 (2)由 x-3y-6=0, 3x+y+2=0,{ 解得点A 的坐标为 (0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0),所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心。 又 AM = (2-0)2+(0+2)2=22,从而矩 形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8。 以上三道例题说明了直线系在解决直线 与圆的问题时候的作用,我们可以发现不论 是平行直线系,还是定点直线系,还是垂直直 线系,都能在一定程度上简化解题的思路或 者是过程,其作用不容小觑。 作者单位:海南师范大学附属中学高三(12)班 91 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年2月 $$