北京市2020年高二数学第二学期导数部分-函数的切线典型例题

高中数学重点难点突破 函数的切线及方程 【明确相关概念】 1、函数的割线斜率 设函数y=f(x)的图像如下图： AB是过点A（x0 ，f(x0)），B（x0+⊿x，f(x0+⊿x)）的割线， AB的斜率是： 就是函数y=f(x)的平均变化率。 2、函数的切线斜率 当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。 由此可见，当⊿x趋近于0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率。 即切线AD的斜率： 3、函数的切线方程 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)，相应的切线方程为： y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，这时切线的斜率不存在，即f(x)在这点的导数也不存在。 如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，根据直线方程的定义，可得此时的切线方程为x＝x0。 【典型例题分析】 1、函数有一条切线 【例】求曲线y＝过点(2,0)的切线方程． 分析：不能看到是过某点的切线就一定是两条。 解一：导数法 因为点(2,0)不在曲线上，所以(2,0)不是切点 设切点坐标为(x0，)， y′＝ 所以在(x0，x02)的切线斜率为 因为切线过(2,0)和(x0，)，所以 解得x0=， 所以 所以k＝ 所以切线方程为y＝ (x－2) 即x+3y－2＝0. 解二：点到直线距离 因为曲线y＝表示圆心（0,0），半径为1的上半个圆。 所以设切线的方程为y=k(x-2) 由点到直线距离公式，得 解得 因为曲线只是上半个圆，图一 所以 所以切线方程为y＝ (x－2) 即x+3y－2＝0. 解三：数形结合法 如图一，切线AB与OB垂直，|OA|=2，|OB|=1 所以，∠OAB=300 所以k＝tan(1500)= 所以切线方程为y＝ (x－2) 即x+3y－2＝0. 【例】求曲线y=x2＋+1在点（1,3）的切线方程． 分析：求曲线在点（1,3）的切线方程，说明点（1,3）是切点。 解：因为 所以曲线y=x2＋在点（1,3）的切线斜率为1， 由点斜式得，曲线y=x2＋在点（1,3）的切线方程为x-y+2=0 【举一反三】 【练】求曲线y＝过点(-