人教B版高中数学选修2-2 第一章1.1.3导数的几何意义-教案

1.1 导数 1.1.3 导数的几何意义 【提出问题】 已知函数f(x)=x2,求x=2时的导数。 解：因为 所以 因为 所以x=2时的导数为4。 我们知道，从数量上，函数在一点x0的导数是函数在x0处函数的瞬时变化率。 那么，从图形上看，一般函数在点x0的导数有怎样的几何意义呢？ 【抽象概括】 设函数y=f(x)的图像如下图： AB是过点A（x0 ，f(x0)），B（x0+⊿x，f(x0+⊿x)）的割线， AB的斜率是： 就是函数y=f(x)的平均变化率。 【获得新知】 当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。 由此可见，当⊿x趋近于0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率。 即切线AD的斜率= 【解决问题】 由导数意义可知，曲线y=f(x)在点（x0 ，f(x0)）的切线的斜率等于f′(x0) 即k＝f′(x0)＝. 【概念领悟】 1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)，相应的切线方程为： y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，这时切线的斜率不存在，即f(x)在这点的导数也不存在。 3. 如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，根据直线方程的定义，可得此时的切线方程为x＝x0. 4. 连续函数不一定在每一点处都有导数。比如，函数y=|x|在x=0处没有导数。 【经典例题】 例1．已知抛物线y＝x2＋4x，求抛物线在点（2,12）处的切线的斜率。 解：因为　Δy＝(2＋Δx)2＋4(2＋Δx)-12＝Δx2＋8Δx. 所以 所以 ＝ (Δx＋8)＝8. 所以抛物线y＝x2＋4x在点（2,12）处的切线的斜率为8。 【规律技巧】求曲线y＝在点(x0，f(x0))的切线的斜率的步骤为： 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：求导数f′(x0)＝ 即为曲线在点(x0，f(x0))的切线的斜率. 例2.求曲线y=x2＋在点（1,2）的切线方程． 解：因为 所以 所以 所以曲线y=x2＋在点（1,2）的切线斜率为1， 由点斜式得，曲线y=x2＋在点（1,2）的切线方程