微专题13 数列的综合应用-2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦

微专题13 数列的综合应用 ——2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦 【考情分析】数列的综合应用在解答题中的考查多以函数、不等式结合，考查数列的最值问题、恒成立问题，证明数列不等式问题，涉及到的数学思想：函数与方程思想 (如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和)等，综合考查考生数学抽象、数学运算的核心素养. 考点一 数列的最值问题 【必备知识】 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题： 1．等差数列的前n项和与函数的关系 等差数列的前n项和公式为可变形为，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn. 当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足. (2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足. 3．在等差数列中，若，，则 （1）为偶数当时最大； （2）为奇数当或时最大． 【典型例题】 【例1】等差数列中，，，记，则当__________时，取得最大值. 【解析】在等差数列中，，，， 即，， ，， 由，得，即， 当时，，当， 因此在中，当时，，当时，， 故当时，取得最大值，故答案为. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是数学运算. 求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． (3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个． 【类比训练1】设是等比数列的前项和， ，若，则的最小值为__________． 【答案】20 【解析】很明显等比数列{an}的公比q>0，q≠1. ∵， 则， ∴ 当且仅当q3=2,即时取等号. ∴S9−S6的