2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西·吉安 高一年级第一天 2019年7月30日 上午8：00-12：00 1．求最大的实数，使得对任意正数，，均有． 2．如图，两圆，交于，两点，，为上两点，，为上两点，满足，分别在线段，内，且线段，不相交．设与，分别交于点，，与，分别交于点，． 证明：若的外接圆与的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数满足：对任意正整数，，均有整除．是否一定存在无穷多个正整数；使得？证明你的结论． 4．将一个方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的方格表．若用面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西·吉安 高一年级第二天 2019年7月31日 上午8：00-12：00 5．称集合的一个子集为“红色”的子集，若中任意两个不同的元素之和均不被整除．用，分别表示的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较，的大小，并说明理由． 6．设，，为给定的三角形的三边长．若正实数，，满足，求的最大值． 7．设为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点，，，和一个正方形，使得点在直线与上，点在直线与上，点在直线与上，点在直线与上． 8．对于正整数，定义集合，其中表示的标准分解式中素因子的次数，并记为中所有元素之和．约定． 今给定正整数．设正整数数列，，，，满足：对任意整数，． （1）证明：存在常数，，使得当正整数有至少两个不同的素因子时，必有； （2）证明：存在正整数，使得对所有，． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 单独考虑左边，左边可以看成是一个的函数、为参数，那么关于取最小值的时候有 于是我们只需要取即可． 设，那么，演算可知是的极小值点，那么，即，取极值时有，． 评析1．不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个，所以可以考虑一下类似于分离变量的方法把或挪到左边去．本答案用的是把挪到左边的方法．把挪到左边也有类似的做法，但是会变得比较复杂，有兴趣的同学不妨一试． 该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法，但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话