2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题（7月30日～31日，江西吉安）（无答案）

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安 高一年级 第一天 2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 求最大的实数，使得对任意正数，，均有. 2. 如图，两圆，交于，两点，，为上两点，，为上两点，满足，分别在线段，内，且线段，不相交.设与，分别交于点，，与，分别交于点，. 证明：若的外接圆与的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数满足：对任意正整数，均有整除.是否一定存在无穷多个正整数；使得？证明你的结论. 4. 将一个方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的方格表.若用面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安 高二年级 第一天 2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数，用表示不超过的最大整数，记.是否存在正整数，及个实数，，…，，使得，，(，，…，)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中，，以为圆心，为半径的圆与，的延长线分别相交于点，，以为圆心，为半径的圆与，的延长线分别相交于点，，直线，相交于点，直线，相交于点，直线与圆相交于点，直线与圆相交于点.证明：，，，四点共圆. 3. 今有人排成一行，自左至右按，，…，的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按，，，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求的表达式(用表示)；特别地，给出的值. 4. 在矩阵中，每个元素为或.用表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)： （，，…，），（，，…，，）（，，…，） （，，…，），（，，…，）（，，…，） （，，…，，），（，，…，）， （，，…，），（，，…，）. 若这些数组两两不同，求矩阵中所有元素之和的可能值. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安 高一年级 第二天 2019年7月31日 上午8:00-12:00 5. 称集合的一个子集为“红色”的子集，若中任意两个不同的元素之和均不被整除.用，分别表示的红色的