2019年印度高中数学区域奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019 印度区域奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c989116 1.非零实数 x满足 5x 与 19 20x x  均为有理数. 求证: x为有理数. 2.△ABC 外接圆为 Ω, 重心为 G. 延长 AG,BG,CG 分别与 Ω 交于 1 1 1, ,A B C . 若 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,BAC A B C ABC AC B ACB B AC      ，证明：△ABC 与 1 1 1A B C△ 为等边三角形. 3.正实数 , ,a b c 满足 1a b c   . 求证: 2 3 3 2 3 3 2 3 3 1 5 a b c a b c b a c c a b abc          . 4.考虑由数字1,2,3,4,5,6 组成的3 2 矩阵 它的每一行的两个数的和相同,但平方和不同. 请使用数字7,8,9,...3k 将其扩充为一个3 k 的矩阵,且满足 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 , ( ) ( ) ( ) k k k k k k j j j j j j j j j j j j a a a a a a                . 5.H 为锐角△ABC 的垂心, D,E,F 分别为 A,B,C 到对边的高. 设 L,M,N 分别为 AH,EF,BC 中点. 过 L,N 作 DF 垂线,垂足分别为 X,Y. 求证: XM⊥MY. https://artofproblemsolving.com/community/c989116 6.给定 91 个大于 1 的正整数, 则其中至少有 456 对是互素的. 求证: 一定可以 从中找出四个整数 , , ,a b c d , 使得gcd( , ) gcd( , ) gcd( , ) gcd( , ) 1a b b c c d d a    $$