2019年印度高中数学国家奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019 印度国家奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c831794 1. 中， . 线段 BC 上一点 D 满足 AB 与 外接圆相 切于点 A, 线段 AD 上一点 E 满足 BE⊥AD. 已知 , 求 . 2.设 1 1 1 1 1A B C D E 为正五边形. 对 2 11n  , 设 n n n n nA B C D E 的五个顶点 为五边形 1 1 1 1 1n n n n nA B C D E     五条边的五个中点. 所有这 11 个五边形 的 5 个顶点都被任意地染成红色或者蓝色. 求证: 这 55 个点中一点存 在 4 个共圆的同色点. 3.设 ,m n为互异的正实数.证明 gcd( , ) gcd( 1, 1) gcd( 2, 2) 2 | | 1m n m n m n m n         . 并求出取等号的条件. 4.设正实数 ,M n满足 1nM n  . 证明: 存在 n个互异的实数 1 2, ,... np p p 使得 |jp M j 对所有的1 j n  成立. 5.设 AB 为圆 Γ的直径, 设 C 为 Γ上异于 A 或 B 的一个点. 过 C 作 CD ⊥AB 于 D. 线段 CD 上一点 K 满足 AC 等于△ADK 的半周长. 证明: △ADK 中, A 所对的旁接圆与 Γ相切. https://artofproblemsolving.com/community/c831794 6.对实数 ( , ) : , , 0x y x y xy  , ( , )f x y 定义为满足以下条件的正实数 的集合： (i)对所有 , 0x y  ， ( , ) ( , ) ( , )f xy z f x z f y z  (ii) 对所有 , 0x y  ， ( , ) ( , ) ( , )f x yz f x y f x z  (iii) 对所有 0,1x  ( ,1 ) 1f x x  求证： (1)对所有 0x  , ( , ) ( , ) 1f x x f x x   (2)