专题03 圆锥曲线中定值、定点问题分析-2020年高考数学（理）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题03 圆锥曲线中定值、定点问题分析 内容提要 纵观历年高考真题，圆锥曲线中的定值、定点问题是高考中的热点题型，以解答题为主，难度一般较大，考查函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．本文坚持直曲联立，韦达定理传统方法培养的同时，增加齐次联立法，分析椭圆、双曲线、抛物线中定值、定点问题分析，望读者能曲径通幽． 方法归纳 方法1：韦达定理 设而不求 方法2：齐次联立 整体代入 方法3：韦达定理 设而可求 溯本求源 【例1】（2019重庆八中高二期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是． （1）求椭圆的标准方程． （2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【解析】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆的标准方程是． （2）（韦达定理 设而不求）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0． 设，，直线的方程为 联立，整理得 则，． 因为直线与直线的斜率之和为1，所以， 所以， 将，代入上式，整理得． 所以，即， 则直线的方程为． 故直线恒过定点． 【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算． 推广延伸 纵观历年高考真题中， 经常出现有关定点与定值问题．包括以下两类热点问题： ①斜率之和为定值问题； ②斜率之积为定值问题． 审思明辨 推广1：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证： ①若，则或直线斜率不存在； ②若，则直线恒过定点． 【证明】（齐次联立 整体代入）设，，已知， 则．令， 则转化为． 又，所以． 设直线方程为：，则 所以 ， 由，得①． 由，得②． 由①+②，得． 当时，或直线斜率不存在． 当时， 直线恒过定点． 综上所述：当时，或直线斜率不存在． 当时，直线恒过定点． 恍然大悟 ⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若． 则①若，则或直线斜率不存在． ②若，则直线恒过定点． ⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若． 则①若，则或直线斜率不存在． ②若，则直线恒过定点． 推广2：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证： ①若，则或直线斜率不存在； ②若，则直线恒过定点． 【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述． 类比联想 ⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则： ①若，则或直线斜率不存在． ②若，则直线恒过定点． ⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则： ①若，则或直线斜率不存在． ②若，则直线恒过定点． 【评析】建议掌握证明方法，齐次联立，整体代入，处理圆锥曲线中的斜率和（积）定值问题，立竿见影．初学者特别注意先平移，后还原，方能正确找出对应的定点坐标． 经典赏析 类型一：韦达定理 设而可求定点型 【例2】（2020甘肃高二期末）已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点． 【解析】（l）由题意知解得 所以椭圆的方程为． （2）证明：易知，， 则直线的方程为，直线的方程为． 联立得． 于是，． 同理可得， 所以直线的斜率． 所以直线的方程为． 即， 所以直线过定点． 【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算． 类型2：韦达定理 数量积定值型 【例3】（2019北京理18）已知抛物线经过点(2，-1)． （I）求抛物线C的方程及其准线方程； （II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点． 【解析】（I）由抛物线经过点，得． 所以抛物线C的方程为，其准线方程为． （II）抛物线C的焦点为，设直线l的方程为． 由，得． 设则． 直线的方程为，令，得点A的横坐标为， 同理可得点B的横坐标． 设点，则， ． 令即，得或． 综上，以AB为直径的圆经过轴上的定点． 【评析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题，解析几何中求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，推理的过程中变更主元，消去变量，从而得到定值． 【例4】（2017新课标Ⅱ）设为坐标