2019年第16届中国东南地区数学奥林匹克竞赛高一试题

2019东南赛 乙一 1 高一年级组 题1.求最大的实数k，使得对任意正数a，b，均有 答案1.原不等式 单独考虑左边，左边可以看成是一个a的函数，b为参数，那么关于a取最小值的时候有 于是我们只需要取即可. 设，那么，演算可知是f的极小值点，那么，即，取极值时有，. 评析1.不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个，所以可以考虑一下类似于分离变量的方法把a或挪到左边去.本答案用的是把a挪到左边的方法，把挪到左边也有类似的做法，但是会变得比较复杂，有兴趣的同学不妨一试. 该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法，但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话，纯粹不等式的方法也是可行的.比如， . 题2.如图，两圆，交于A，B两点，C，D为上两点，E，F为上两点，满足A，B分别在线段CE，DF内，且线段CE，DF不相交.设CF于，分别交于点，，DE于，分别交于点，， 证明：若的外接圆与的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 答案2.如图，记G为CF，DE的交点，和的外接圆圆心为，，取两圆切线上任意一点为，切线另一边的任意一点为，连接CD，LN，AB，MK，EF，， 由于，我们有，即.另外，由圆幂定理我们有，，于是我们有，即. 另一方面，那么因为，我们有 ，即G在上.同理G在上.由于04与0O8相切，我们知道G在上. 那这个时候G在LK，MN，上，我们知道，故.由于，我们知道LMKN是一个平行四边形，那么，那么两个三角形的外接圆半径相等，和的外接圆半径相等. 评析2.熟悉平面几何的同学应该很快就可以凭经验知道，，且G在这两个外接圆上.余下的部分，多观察题图可以猜测，如果有这一条的话我们很容易推出两个外接圆的半径相等，剩下就是一些比较角度的工作.总体来说本题偏简单. 题3.函数满足：对任意正整数a，b，均有整除，是否一定存在无穷多个正整数k，使得？证明你的结论. 答案3.一定存在无穷多个这样的k，使得. 若不然，假设只有有限多个k使得，我们分两种情况讨论. 若这样的k不止一个，那我们可以取到最大的一个，还是记为k，那么对任意，我们有.对任意一个素数p，由于，我们有.但是由于整除，我们知道.对任意两个素数p，q，不妨，那么整除. 那么我们现在考虑三个素数p，q，r满足，但是，（比如，，，）.那么一方面，整除.另一方面，整除.但