2020年菲律宾高中数学奥林匹克竞赛（pdf版，无答案）

2020 菲律宾数学奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： www.artofproblemsolving.com/community/c1052174 1. 一个”丁四块”是指, 在有三个并排的单元格构成的 1×3 的矩形网格的正中间单元格的正上方再补上一个单元格所 构成的图形, 如下图所示. 那么, 一个 202×202 的网格,至少 要移除多少个单元格,才能使得剩下的所有格子能被若干个” 丁四块”不重复的铺满? 2. 求所有的正整数 k, 使得存在正整数 r, s,满足方程 2 1( 6 11) (2 7)r sk k k    . 3. 数列{ }ia 定义如下: 0 1 1 11, 4, 5 , 1n n na a a a a n      . 证明: 该数列中的任意一项都可以表示为 2 23c d 的形式, 其中 c,d 为整数. 4. 锐角三角形 ABC 内接于圆 Γ, AD⊥BC 于 D, 且 AD＝BC. 点 M 为 DC 中点, ∠ADC 平分线交 AC 于 N. 过 B 作 BP∥AC 交 Γ 于点 P. 直线 DN 交 AM 于 F, 直线 PF 与 Γ 再次相交于 Q. 直线 AC 与△PNQ 外接圆再次相交于点 E. 证明: ∠DQE＝90°. $$