2019年伊朗高中数学奥林匹克竞赛第三轮（pdf版，无答案）

2019 伊朗数学奥林匹克 第三轮 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c991055 中期测验 代数部分 1.正实数 , ,a b c 满足 2( ) 2 6 cyc cyc a b a abc    . 求证: 2( ) | 2 6 | cyc cyc a b a abc    . 2.求所有满足下列条件的 :f R R :对任意实数 , ,a b c , 若 ( ) ( ( )) 0a f b f f c   ,则 3 2 2( ) ( ) ( ) 3f a bf b c f c abc   . 3.给定正整数d .若存在开区间 I R ,使得对所有实数 0 1 2 1, ,... da a a I  ,多项式 2 2 1 2 1 1 0( ) ... d d dP x x a x a x a       无实根, 求长度为其最大值的所有开区 间 I . 组合部分 1.在m n 的点阵中按如下规则画线段: (1)任意两条线段不交叉. (2)每条线段的起点和终点在相邻的两行内. (3)过任意两个点,至多有一条线段. 那么,这些线段至多把平面划分为多少个区域呢? 2.正实数 ,n k 满足n k .求二进制下 n 位数个数的最大值, 使得我们固定这些 n 位数的其中任意k位之后, 并不会产生所有的二进制下的k位数. 例如, 若 1k  , 我们就只能有一个 n 位数, 否则它们至少有一位是不同的, 那么就会产生所有 的 1 位二进制数. https://artofproblemsolving.com/community/c991055 3.在 n n 的方格表中按如下规则写下数字:对第 i 行第 j 列的单元格,其上的数 字为 i j . 接下来进行如下操作: 在每一步中,选择两个由 n 行或 n 列构成的非交叉的相同 大小的矩形,交换它们的所有数字(不能进行旋转或者翻折). 那么,至少要经过多 少步, 才能使第 i 行第 j 列的单元格上的数字均为 2 2n i j   ? 几何部分 1.给定一个圆内接四边形 ABCD, BC 上存