2019年墨西哥国家高中数学奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019 墨西哥国家奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/c1007078 1.若整数 1m ，且可以表示为 ( )d nm n ，其中n为正整数， ( )d n 为可以整除n 的正整数的个数，就称整数m是”墨西哥味儿”的. 求所有小于 2019 的”墨西哥 味儿”的整数. 注意: 可以整除n的正整数包括 1 和n自己, 例如:1,2,3,4,6,12都能整除 12,所 以 (12) 6d  . 2.设 H 为锐角△ABC 的垂心, M 为线段 AH 中点. 直线 BH 交 AC 于 D. 平面上一 点 E, 满足 BC 为 DE 的垂直平分线. 线段 CM 和 AE 交于点 F. 证明 BF 与 CM 垂 直. https://artofproblemsolving.com/community/c1007078 3.设整数 2n  . 圆周上有 2n 个点, 每个点上都标记了一个{1, 2,... }n 中的数字, 这样每个数字都被使用了两次. 将这些标记了数字的点分成 n 组, 每组之间用 一根线段连接, 且这些线段互不相交. 接下来, 将每根线段两端的数字中较大的 那个涂上蓝色. (1)请证明:无论这些数字是怎么标记的,总可以适当的选取连接线段, 使得被涂 上蓝色的数字恰好一共有 2 n      个. (2)是否有一种标记数字的方法, 使得无论怎样选取线段, 使得被涂上蓝色的数 字恰好一共有 2 n      个. 注:[ ]x 表示不小于 x的最小整数,例如 3.6 4, 2 2        . 4.如果一个数列中的最大元素仅出现一次, 就称这个数列是”好的”. 一个数列的 子数列, 是指由其中连续的若干项构成的数列. 例如,数列10,34,34, 22,30, 22 的子数列 22,30, 22就是”好的”, 但10,34,34 22， 就不是. 如果一个数列的所有 子数列都是”好的”,就称这个数列是”非常好的”. 若一个长度为 2019 的数列是”非 常好的”, 且其中一共有 k 个不同的值, 求 k 的最小值.