2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题（pdf版，无答案）

2019-2020 英国数学奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源：https://bmos.ukmt.org.uk 第一轮 比赛时间：2019 年 11 月 29 日 1.证明存在至少 3 个小于 200 的素数 p，满足 p+2, p+6, p+8, p+12 均为素数. 同样的, 证明有且仅有一个素数 q, 满足 q+2, q+6, q+8, q+12, q+14 均为素数. 2. 整 数 数 列 1 2 3, , ...a a a 满 足 递 推 关 系 : 2 2 1 14 4 1 0n n n na a a a     对任意正整数 n 成立. 求 1a 的所有可能的值. 3.两个圆 1 2,S S 切于点 P. 一条不经过点 P 的公切线分别与 1 2,S S 交于点 A, B. 过 P 且在△APB 外的直线 CD 与 1 2,S S 分别 交于点 C, D. 证明 AC⊥BD. 4.共 2019 只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆. 当企鹅到 达时, 每只企鹅都得到了一张门票, 上面写有 1-2019 的数 字, 升序排列, 并被告知他们要排队就餐. 第一只企鹅站在 队伍的最前面. 接下来, 持有 n 号门票的企鹅, 需要找到满 足 m＜n 且 m 整除 n 的最大整数 m, 然后钻到第持有 m 号 门票的企鹅后面. 随后下一只企鹅加入队伍, 直到 2019 只 企鹅都排好队. (1)持 2 号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持 33 号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? https://bmos.ukmt.org.uk/home/bmo1-2020.pdf 5. 有 6 个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈. 开始时, 有一个小 孩有 n 个糖果, 其他人没有糖果. 如果有一个小孩有 4 个以 上的糖果, 那么他可以进行如下操作: 吃掉一个糖果, 同时 给他相邻的和对面的一个人各一个糖果. 如果经过某些步 骤之后, 每个小孩的糖果数量相同, 就称这是一次”完美安 排”. 求可以实现”完美安排”的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数 ( , )f m n 满足, 对任 意整数对(m,n), 都有： 2 ( , ) ( , ) ( 1, ) ( ,